专题037.5解直角三角形培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ=ᵃᵃ=10，ᵆ
ᵄᵅᵃ=2，ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于点E，D是线段BE上的一个动点，则ᵃᵃ+√5ᵃᵃ的最小值是()5A.2√5B.4√5C.5√3D.10【答案】B【解析】如图，作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于H，ᵃᵄ⊥ᵃᵃ于ᵄ.由ᵆ
ᵄᵅᵃ=ᵃᵃ=2，设ᵃᵃ=ᵄ，ᵃᵃ=2ᵄ，ᵃᵃ利用勾股定理构建方程求出a，再证明ᵃᵃ=√5ᵃᵃ，推出ᵃᵃ+√5ᵃᵃ=ᵃᵃ+ᵃᵃ，由垂55线段最短即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于H，ᵃᵄ⊥ᵃᵃ于M．∵ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=90°，∵ᵆ
ᵄᵅᵃ=ᵃᵃ=2，设ᵃᵃ=ᵄ，ᵃᵃ=2ᵄ，ᵃᵃ则有：100=ᵄ2+4ᵄ2，∴ᵄ2=20，∴ᵄ=2√5或−2√5(舍弃)，∴ᵃᵃ=2ᵄ=4√5，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，ᵃᵄ⊥ᵃᵃ，∴ᵃᵄ=ᵃᵃ=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∴sin∠ᵃᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃ=√5，ᵃᵃᵃᵃ5∴ᵃᵃ=√5ᵃᵃ，5∴ᵃᵃ+√5ᵃᵃ=ᵃᵃ+ᵃᵃ，5∴ᵃᵃ+ᵃᵃ≥ᵃᵄ，∴ᵃᵃ+√5ᵃᵃ≥4√5，5∴ᵃᵃ+√5ᵃᵃ的最小值为4√5．5故选：B．2.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ᵃᵃᵃ的值为()A.√3B.√3+1C.√3−1D.2√3【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定难度．作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ交CB的延长线于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各边长，并证明ᵃᵃ//ᵃᵃ，推出∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，由锐角三角函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，△ᵃᵃᵃ是含45°的等腰直角三角形，△ᵃᵃᵃ是含30°角的直角三角形，∠ᵃᵃᵃ=30°，作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ交CB的延长线于H．∵∠ᵃᵃᵃ=90°，∠ᵃᵃᵃ=45°，∴∠ᵃᵃᵃ=45°，∵∠ᵃᵃᵃ=90°，∴△ᵃᵃᵃ是等腰直角三角形，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，设ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵄ，则ᵃᵃ=√2ᵄ，ᵃᵃ=√6ᵄ，ᵃᵃ=ᵃᵃ=√3ᵄ，ᵃᵃ=ᵄ+√3ᵄ，∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=90°，∴ᵃᵃ//ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∴tan∠ᵃᵃᵃ=tan∠ᵃᵃᵃ=ᵃᵃ=√3+1，ᵃᵃ故选B．3.如图，在正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△ᵃᵃᵃ连接AE，DE，连接BD交CE于点F，有下列结论：①∠ᵃᵃᵃ=150∘；②△ᵃᵃᵃ∽△ᵃᵃᵃ；③DF=√3；④ᵄ:ᵄ=(√3+2):3.其中正确结FB3△ᵃᵃᵃ△ᵃᵃᵃ论的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可②由①可得到∠ᵃᵃᵃ的度数，再利用正方形的性质即可得∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，即可判定③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出ᵃᵃ，再与tan∠ᵃᵃᵃ=ᵆ
ᵄᵅ30°作比较即ᵃᵃ可④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可【解答】解：∵△ᵃᵃᵃ为等边三角形∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=60°，ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃ∵四边形ABCD为正方形∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=90°−60°=30°∴在△ᵃᵃᵃ和△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ=ᵃᵃ∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃᵃᵃ=ᵃᵃ∴△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ(