泛函分析题1_1压缩映射原理20070430泛函分析题1_1压缩映射原理p91.1.1证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．证明：(1)设(X,)是完备度量空间，AX，A是X的闭子集．若{xn}是A中的Cauchy列，则{xn}也是X中的Cauchy列．因(X,)完备，故{xn}收敛于X中某点x．而A是X的闭子集，且{xn}是A中的点列，故其极限x也在A中．因此，{xn}是子空间A中收敛列．所以，子空间(A,)是完备的．(2)设(X,)是度量空间，BX，B是X的完备子空间．若{xn}是B中的点列，且在X中收敛于xX．则{xn}是X中的Cauchy列，因此{xn}也是B中的Cauchy列．由B是X的完备子空间，故{xn}也是B中的收敛列．若{xn}在B中收敛于yB，则{xn}作为X中的点列也收敛于y．由极限的唯一性，xy．故xB．所以B是X中的闭子集．1.1.2(Newton法)设f是定义在[a,b]上的二次连续可微的实值函数，z(a,b)使得f(z)=0，f’(z)0．求证存在z的邻域U(z)，使得x0U(z)，迭代序列xn+1=xnf(xn)/f’(xn)(n=0,1,2,...)是收敛的，并且limnxn=z．证明：首先，由f’(z)0，存在z的邻域V(a,b)，使得f’在cl(V)上总不为0．设m=min{|f’(x)|xcl(V)}，M=max{|f’’(x)|xcl(V)}，则m>0．由f(z)=0，存在z的邻域U=(z,z+)V，使得tcl(U)，|f(t)|m2/(M+1)．设T:cl(U)，T(x)=xf(x)/f’(x)．则T在cl(U)上是连续可微的．则x,ycl(U)，存在U，使得T(x)T(y)=T’()(xy)．故|T(x)T(y)|=|T’()|·|xy|=|f()f’’()/f’()2|·|xy|m2M/((M+1)m2)·|xy|=(M/(M+1))·|xy|．特别地，xcl(U)，|T(x)T(z)|(M/(M+1))·|xz||xz|．而T(z)=zf(z)/f’(z)=z，故|T(x)z|，即T(x)cl(U)．所以，T是cl(U)上的压缩映射．x0U，迭代序列xn+1=xnf(xn)/f’(xn)(n=0,1,2,...)就是cl(U)上的压缩映射T所产生迭代序列xn+1=T(xn)(n=0,1,2,...)．由压缩映射原理，{xn}是收敛的，并且limnxn=z．1.1.3设(X,)是度量空间，映射T:XX满足(Tx,Ty)<(x,y)(xy)，并且已知T有不动点，求证此不动点是唯一的．证明：若不然，设T有不同的不动点x,yX，则(x,y)=(Tx,Ty)<(x,y)，矛盾．故T的不动点是唯一的．1.1.4设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．证明：设(X,)是度量空间，0<<1，T:XX是满足(Tx,Ty)·(x,y)(x,yX)的压缩映射．若{xn}是X中收敛于x的点列，则(xn,x)0．而(Txn,Tx)·(xn,x)，故有(Txn,Tx)0．因此T连续．1.1.5设T是压缩映射，求证Tn(n+)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立．证明：(1)设(X,)是度量空间，0<<1，T:XX是满足(Tx,Ty)·(x,y)(x,yX)的压缩映射．n+，若S=Tn是压缩映射，则x,yX，有(Tn+1x,Tn+1y)=(Tn(Tx),Tn(Ty))=(S(Tx),S(Ty))(Tx,Ty)·(x,y)．所以Tn+1也是压缩映射．由数学归纳法原理，Tn(n+)都是压缩映射．(2)逆命题不成立的例子：考虑T:[0,2][0,2]，其中T定义如下：当x[0,1]时，T(x)=0；当x(1,2]时，T(x)=x1．显然T不是压缩映射．但x[0,2]，T(T(x))=0．因此，T2是压缩映射．1.1.6设M是(n,)中的有界闭集，映射T:MM满足：(Tx,Ty)<(x,y)(x,yM，xy)．求证T在M中存在唯一的不动点．证明：(反证法)假若T在M中没有不动点．显然，T在M上是连续的，故函数(x,Tx)在M上连续且恒大于0．因M是(n,)中的有界闭集，故(x,Tx)在M中某点x0处达到下确界．0<(x0,Tx0)(Tx0,T2x0)<