第25卷第6期孝感学院学报VOL.25NO.62005年11月JOURNALOFXIAOGANUNIVERSITYNOV.2005压缩映射原理及其应用张运章(云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650031)摘要:在各类方程的求解问题里常转化为求映射的不动点,利用逐次逼近法求不动点,在计算数学有广泛的应用。利用度量空间及压缩映射的观点来描述这一方法,再给出它的一些应用。关键词:压缩映射;不动点;度量空间;逐次逼近法中图分类号:O174.55文献标识码:A文章编号:1671O2544(2005)06O0045O05逐次逼近法或叠代法对于代数方程,微分方αd(x0,Tx0),d(x2,x3)=d(Tx1,Tx2)≤2程,积分方程和其他方程的解的存在定理的证明αd(x1,x2)αd(x0,Tx0),⋯,d(xn,xn-1)≤n有很广泛的应用。这个方法除广泛应用性外,其αd(x0,Tx0),⋯,并且d(xn,xn+p)≤d(xn,xn+1)nn+1重大价值还在于提供了方程的近似解的构造。各+d(xn+1,xn+2)+⋯+d(xn+p-1,xn+p)≤(α+αnn+p种不同类型的方程的逐次逼近法在泛函分析中形n+p-1α+α+⋯+α)d(x0,Tx0)=d(x0,Tx0)成了一个一般的原则,这就是压缩映象原理。1-ααn≤d(x0,Tx0)。1压缩映射原理及推论1-α由于0≤α<1,所以当n→∞时有d(xn,xn+p→定义1设X为一非空集,T∶X→X是一个0。就是说,序列{xn}是基本序列,又因度量空间X映射,如果有x3∈X使得Tx3=x3,则称x3是完备的,所以存在点x3∈X,使得x3=limxn。为映射T的一个不动点。n→∞33≤33定义2设(X,d)为一个度量空间,T为Xd(x,Tx)d(x,xn)+d(xn,Tx)=333到X的一个映射,如果存在常数0≤α<1得对一d(x,xn)+d(Txn-1,Tx)≤d(x,xn)+α3ε切x,y∈X,有d(Tx,Ty)≤αd(x,y),则称T是d(x,xn-1),对P>0,只要n充分大,必有3ε3εX上的一个压缩映射。(压缩映射显然是连续的,d(x,xn)<,d(x,xn-1)<,从而0≤22αα称为压缩因子)。d(x3,Tx3)<ε,由ε的任意性,可知,d(x3,定理1设在完备度量空间X中给定一个映Tx3)=0。即Tx3=x3。射T,把空间X的元素变换为同一空间内的元素,下面证明不动点x3是惟一的。并且d(Tx,Ty)≤d(x,y),(0≤α<1),则有惟若不然,设有X中的两个不同元素x3,y3,一的点x3∈X,使得Tx3=x3。我们把x3叫做分别使得Tx3=x3,Ty3=y3,那么映射T得不动点,把符合上述条件的映射称为压d(x3,y3)=d(Tx3,Tx3)≤αd(x3,y3)。缩映射。因d(x3,y3)>0,由上式得α≥1,这与题设α<证明在完备度量空间X中任意取定一个1矛盾,故不动点是惟一的。元素x0,作序列:x1=Tx0,x2=Tx1,⋯,xn=注1定理中的条件0≤α<1,不能减弱为Txn-1,⋯,可以证明这是基本序列。事实上,由于0≤α≤1。事实上,即使X为完备的度量空间,而d(x1,x2)=d(Tx0,Tx1)≤αd(x0,x1)=收稿日期:2005O08O21作者简介:张运章(1974O),男,河南洛阳人,云南民族大学数学与计算机科学学院硕士研究生。—54—©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net张运章且对所有的x,y∈X,当x≠y时,有d(Tx,Ty)2应用举例<d(x,y),但映射T可能没有不动点。例如:设X是实数空间R中的闭子空间[0,+下面给出压缩映射原理在图论上的应用。1例1:把一张小比例尺的地图,放在一张同地∞],映射T为:Tx=x+。容易验证T适合x+1区的大比例尺地图内,则有且仅有一个地名重合上述不等式,然而T在[0,+∞]中没有不动点。(有一个坐标相同的点相重合)。虽然如此,定理还可做一些适当的拓广。证明:把大地图中所有的地名(包括未写出来推论1设度量空间X是完备的,y=Tx是的)看作定理1中的X(距离按通常定义);把小地nX到X的映射。如果存在一个自然数n使得T是图所覆盖的区域看作大地图到自身的映象,显然X上的一个压缩映射,那么映射T在X中必有惟这是一个完备度量空间中的压缩映象问题,故结一的不动点。(当n=1时,推论1就是定理1