会计学函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维．一、分类讨论的思想例1已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y轴无公共点，故，又图象关于y轴对称，则为偶数，由，得，又因为，所以．当时，不是偶数；当时，为偶数；当时，为偶数；当时，不是偶数；当时，为偶数；所以n为，1或3．此时，幂函数的解析为或，其图象如图１所示．二、数形结合的思想例2已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．分析：由幂函数的定义，先求出与的解析式，再利用图象判断即可．解：设，则由题意，得，∴，即．再令，则由题意，得，∴，即．在同一坐标系中作出与的图象，如图2所示．由图象可知：（1）当或时，；（2）当时，；（3）当且时，．小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中的隐含条件．三、转化的数学思想例3函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：要使函数的定义域是全体实数，可转化为对一切实数都成立，即且．解得．故选（Ｂ）幂函数中的三类讨论题所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．类型一：求参数的取值范围例1已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式．解：∵是偶函数，∴应为偶数．又∵，即，整理，得，∴，∴．又∵，∴或1．当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．故m的值为1，．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．类型二：求解存在性问题例2已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．解：∵，则．假设存在实数，使得满足题设条件，设，则．若，易知，，要使在上是减函数，则应有恒成立．∵，，∴．而，∴.．从而要使恒成立，则有，即．若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立．∵，，∴，而，∴．要使恒成立，则必有，即．综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数．评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况例3讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况．分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．解：（1）当，即或时，为常函数；（2）当时，或，此时函数为常函数；（3）即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；（4）当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（5）当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（6）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．幂函数习题幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．例1若，试求实数m的取值范围．错解（数形结合）：由图１可知解得，且．剖析：函数虽然在区间和上分别具有单调性，但在区间上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的．正解（分类讨论）：（1）解得；（2）此时无解；（3），解得．综上可得．现在把例1中的指数换成3看看结果如何．例2若，试求实数m的取值范围．错解（分类讨论）：由图2知，（1）1，解得；（2）此时无解；（3），解得．综上可得．剖析：很明显，此解法机械地模仿例１的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同．由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用．正解（利用单调性）：由于函数在上单调递增，所以，解得．例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维．下面再对和两个问题与解法进行探究．例3若，试求实数m的取值范围．解：由图3，，解得．例4若，试求实数m的取值范围．解析：作出幂