矩阵的特征值与特征向量一相似矩阵及其性质矩阵的等价变换若有可逆矩阵P,Q使得下式成立：PAQ=B.则矩阵A与B是等价的。等价的矩阵有：……若对上式有进一步的要求，比如要求Q与P有关，且恰为P的逆矩阵时，即有PAP-1=B.时，则除了以上等价的性质外，结论将进一步加强。此时我们称上式为相似变换，新的结论为相似不变性。定义设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使P-1AP=B,则称矩阵A与B是相似的，并说B与A互为相似矩阵，记作A~B。对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。性质：矩阵的相似关系是一种等价关系反身性：A~A;对称性：若A~B,则B~A;传递性：若A~B,B~C，则A~C.定理：若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。证明：因A与B相似，从而有可逆矩阵P，使P-1AP=B。从而|B-λE|=|P-1AP-P-1(λE)P|=|P-1(A-λE)P|=|A-λE|.即A与B的特征多项式相同，A与B的特征值亦相同。推论：相似矩阵有相同的行列式；有相同的的迹。问题：定理的逆是否成立？即有相同特征多项式的矩阵是否一定相似？推论：若n阶矩阵A与对角阵Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)相似，则λ1,λ2,…,λn即是A的n个特征值。二相似矩阵的幂与多项式间的关系性质：若A~B，且h(x)是一个一般的多项式，则有Ak~Bk;h(A)~h(B)。证明：A~B，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B。从而Bk=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1AkP.即Ak~Bk。类似地可证h(A)~h(B).特别地，若矩阵A与对角矩阵相似，即有可逆矩阵P使则对于对角阵Λ，易得由此可方便地计算A的多项式f(A)。例：对如下矩阵A，求分析：若矩阵A能相似于一个对角阵，即存在可逆矩阵P，使则由而对角矩阵的幂与多项式容易计算，即有则问题就简化很多。下一步应确定A能否对角化？三方阵可对角化的条件定义：如果方阵A能与一个对角矩阵相似，则称A可对角化；否则，就称A不能对角化。定理：n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。证明：先证必要必性。假设存在可逆矩阵P，使得则有AP=PΛ，对P按列自然分块为代入于是可得例：判定矩阵A是否可以对角化？若能，则求出可使其对角化的相似矩阵P。本例说明，当n阶方阵A有n个互不相同的特征值时，一定可对角化。例：判定矩阵A能否对角化？解：A的特征多项式为所以A的特征值为：亦即矩阵A的线性无关的特征向量组最多只能包含两个特征向量，即A不存在3个线性无关的特征向量，从而矩阵A不可能对角化。即任何的可逆矩阵P都不能使得P-1AP为对角矩阵。例：判定知阵A能否对角化？若能求可使A对角化的矩阵P。解：A的特征多项式为所以A的特征值为：由于p1,p2,p3为A的3个线性无关的特征向量，故A可对角化。且若取P=(p1,p2,p3)，则有P-1AP=diag(-1,2,2).定理：方阵A的任一特征值的几何重数不大于它的代数重数。四可对角化矩阵的矩阵多项式计算例：对如下矩阵A，求＝＝