矩阵矩阵的运算例：设为n阶方阵，且，，证注意：不可证：，①，用左、右乘上式得：两式相减得②，由①②式可得：例：设为所有元为1的阶方阵，为阶方阵，证：矩阵方程仅有零解。当时，由，得。当时，用左、右乘原方程，（注意）得：用左乘原方程，得用右乘原方程，得将代入原方程，得。例：设为n阶正交方阵，且，证：因为为n阶正交方阵又，，所以，例：设为3阶正交阵，，为3阶方阵，且，求例：设是行列式为的正交矩阵，为的伴随矩阵，求因为，又，所以即得，例：05104设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵，则交换的第1列与第2列得.(B)交换的第1行与第2行得.(C)交换的第1列与第2列得.(D)交换的第1行与第2行得.[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得，于是，即,可见应选(C).例：，求例：设，，，求。，，例：已知，求令，，，注：，若与任意矩阵的乘积可交换（数量矩阵）例：已知，求.令，，而例：，。注意到，为初等方阵，左乘，行变换2003次，第1行第2行对换2003次相当于1次。例：设，矩阵B满足方程.，求B.解A显然可逆,故将方程两端右乘A-1,得;再左乘A,由,得，即,所以例：已知，且，求例：设矩阵的伴随矩阵，且，求先将所给表达式化简：先计算，由，由已知得，则，计算略。为可逆矩阵可表示为若干初等方阵的乘积的行（列）向量组线性无关只有零解的特征值全不为零正定的行（列）向量组是空间的一组基。例：例：，求。可逆，则可逆，且例：设，证：，当，当，当时，，所以，，设，可得，因为，，例：为方阵，，证可逆。法1，法2、若，则的特征值必全为零，例：设为n阶方阵，证若可逆，则可逆。法1、若不可逆，则有非零解，即存在。令（否则，）。另一方面，，由，得，矛盾。法2、由可逆，考虑例：设向量正交，证可逆。法1、令，则的特征值全为0，则的特征值全为1。法2、令，则，即，可逆。例：设为n阶方阵，且满足，证可逆。法1、，法2、用除法，例：设为阶方阵，若都可逆，试证可逆，并求其逆矩阵。记，现证明.，则，可逆。设，则由，得--------①，-------②，--------③，-------④由①+②，①-②得，解之，得，类似可得。例：设n阶可逆方阵中每行元之和为常数，则，且中每行元之和为常数。将的第2，…，n列加到第1列，然后按第1列展开，由，再由上式，根据，即的第1行元素之和为。若按第k列展开即得。另法：由，则，即得。例：设n阶方阵满足为常数，求可逆的充要条件。可逆，存在，用左乘原式得：若若，由可逆，得，所以，或且是可逆的必要条件。若，若且.例：设n阶方阵满足，若将中元用代替，并记作，求。可逆，且，又，例：n阶方阵满足可表示为一个行阵和一个列阵之积。当，当，任取一2阶子式，则.另法：，则，且，从而，故例：任意秩为的矩阶阵必可分解为，其中的列向量线性无关，的行向量线性无关，即。由于，存在可逆矩阵，，使得于是，例：任意n阶方阵可表示为一非异阵和一个幂等阵（）之积。若若，则，于是，且.例：设为3阶非零矩阵，，且，则。由，则，则，由为非零矩阵，得，则，有，从而矩阵的秩常用的不等式：；；可逆，注：由，不能推出可逆。例：例：为n阶方阵，若，则设，则的基础解系中，解的个数为，，则的列向量为的解，所以，则。应用：设，满足，则由，，由，得又，，即得。同理可证：若例：2008111，是三维列向量，为的转置，为的转置（1）证；（2）若线性相关，则.解：①为三维列向量，则，②线性相关，不妨设，例：设，，则当当，，则，因为，A的至少一个代数余子式不为零，当，因为A的所有阶代数余子式全为零，则。例：设，均为幂等阵（），且可逆，证明：由于，则，，于是，又因可逆，，则，即得。另法：因，而可逆，故注：这里应用到任意矩阵乘以可逆矩阵，其秩不变。例：设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有[C](A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.分析：A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.详解：根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有，即有或a=b.但当a=b时，显然秩(A),故必有ab且a+