第18章圆【知识衔接】————初中知识回顾————垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．[来垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．切线的性质与证明：切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质：学科-网（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．证明四点共圆的方法有：（1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆（3）线段同旁张角相等，则四点共圆．（4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆（5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆（6）四边形ABCD对角线相交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若，则它的四个顶点共圆．圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形————高中知识链接————直线和圆的位置关系 相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离．圆和圆的位置关系 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离．两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切． 两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交．两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切． 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含．弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【经典题型】初中经典题型[来源:学科网ZXXK]例1：如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()10cmB．16cmC．24cmD．26cm【答案】C例2：如图，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC＝40°，则eq\o(AD,\s\up8(︵))的度数是________度．【答案】140【解析】如解图，连接AD，OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝20°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝20°，∴∠AOD＝180°－20°－20°＝140°，即eq\o(AD,\s\up8(︵))的度数为140°．例3：如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．【分析】（1）连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；（2）连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=，得到OD=，即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OA，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．例4：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S，求证：P、Q、S、R同点共圆．ABQSRP证明：连PQ、QB内四边形ABQP内接于圆