第11章集合及其运算【知识衔接】————初中知识回顾————在小学和初中，我们已经了解过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），…．．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集．例如：五岳“泰山、衡山、华山、恒山、嵩山”能组成一个集合；“1～20以内所有的素数”也能组成一个集合；学-科网“四大洋”可以组成一个集合以上我们是用自然语言描述一个集合，我们称此方法为“描述法”．以上三个集合我们还可以表示成：、、像这样把集合一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．为简便起见，集合通常用大写字母表示，如集合、、、、……等等，例如集合，．同时，我们用小写拉丁字母、、、……表示集合中的元素．————高中知识链接————并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B读作：“A并B”说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。交集[来源:学§科§网Z§X§X§K]一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：A∩B读作：“A交B”【经典题型】初中经典题型1．在“①个子较高的人；②所有的正方形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．②B．③C．①②③D．②③【答案】D2．已知集合，，则集合中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】由题意得，根据，可得的值可以是：，共有5个值，所以集合中共有5个元素，故选D．3．已知集合，则实数的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题知方程的解为和，代入可得，故本题答案选．4．下列说法中正确的是A．参加2015年4月尼泊尔大地震救援的所有国家组成一个集合B．樟树中学年龄较小的学生组成一个集合C．与是不同的集合[来源:学#科#网Z#X#X#K]D．由1,0,5,1,2,5组成的集合有六个元素【答案】A【解析】对于B，不满足确定性，故B错误；对于C，根据集合的互异性可得与是同一个集合，故C错误；对于D，根据集合的互异性，由1,0,5,1,2,5组成的集合有四个元素，故D错误，故选A．高中经典题型1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：直接利用集合并集的定义求解即可．详解：因为集合，，所以，由结合并集的定义可得．点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；[来源:Z&xx&k.Com]（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2．已知集合，，则满足条件的集合的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足一定含有元素1的集合B的个数．3．集合，，若只有一个元素，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：先利用两集合有公共元素得到值，再通过集合元素的互异性和公共元素的唯一性进行验证．详解：因为只有一个元素，所以或或或，解得或或或，当时，（舍），当时，集合与互异性矛盾（舍），当时，集合与互异性矛盾（舍），当时，（符合题意），即．点睛：本题考查集合的交集运算、集合元素的性质等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、分类讨论能力和基本计算能力．4．集合，则_________．【答案】点睛：（1）本题主要考查集合的化简和并集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力．(2)求集合的并集时，相同的元素只能写一次，所以不能写成，这违背了集合元素的互异性．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．下列各组对象不能构成一个集合的是（）A．不超过20的非负实数B．方程在实数范围内的解C．的近似值的全体D．临川实验学校2017年在校身高超过170厘米的同学的全体【答案】C【解析】A，B，D都是集合，∵的近似值的全体不满足确定性，不是集合；故选C．点睛：本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性（即给定一个总体，总体内的每元素在不在总体内是确定的），无序性，互异性；判断一个总体是不是集合，主要应用集合内的元素的确定性：即给定一个总体，总体内的每个元素在不在总体内是确定的．2