20.4正方形的判定A卷一、选择题1．下列命题正确的是（）A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2．矩形四条内角平分线能围成一个（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二、填空题3．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______．4．如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_______．图1图2图35．如图2所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，BE=BD且AB=2cm，则∠E的度数是______，BE的长度为____．6．如图3所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一动点，则当PF+PE取最小值时，PF+PE=______．三、解答题7．如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形．四、思考题8．已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问：（1）AF与DE相等吗？为什么？（2）AF与DE是否垂直？说明你的理由．参考答案一、1．C点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C．2．D点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．二、3．△ABC是等腰直角三角形且∠BAC=90°点拨：还可添加△ABC是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠BAC=90°且四边形ADEF是菱形等条件．4．点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为=．5．67.5°；2cm点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，所以∠DBC=45°，AD=AB=2cm．在Rt△BAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2，所以BD=2cm，所以BE=BD=2（cm），又因为BE=BD，所以∠E=∠EDB=（180°-45°）=67.5°．6．点拨：如图所示，作F关于AC的对称点G．连结EG交AC于P，则PF+PE=PG+PE=GE为最短．过E作EH⊥AD．在Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE==，即PF+PE=．三、7．解：因为∠FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形，因为CF平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．四、8．解：（1）相等．理由：在△ADE与△BAF中，AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF，所以△ADE≌△BAF（S．A．S．），所以DE=AF．（2）AF与DE垂直．理由：如图，设DE与AF相交于点O．因为△ADE≌△BAF，所以∠AED=∠BFA．又因为∠BFA+∠EAF=90°，所以∠AEO+∠EAO=90°，所以∠EOA=90°，所以DE⊥AF．20.4正方形的判定B卷一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，P，Q，R，S分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，求大正方形ABCD的边长．二、知识交叉题2．（科内交叉题）如图所示，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线CE相交于点E，与∠BCA的外角平分线CF相交于点F．（1）EO与FO的长度相等吗？说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由；（3）若要使四边形AECF成为正方形，则∠ACB的度数应为多大？三、实际应用题3．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案（在给出的三张正方形图纸上，如图，分别画图，并简述画图步骤）．四、经典中考题4．（莆田）如图所示，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是_____．五、探究学习1．（规律探究题）如图所示，正方形ABCD的对角线相交