2017年湖南省高中数学联合竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，且三条件，，恰有一个成立，若，且，则下列选项正确的是（）A．且B．且C．且D．且2．已知点为正三棱柱上底面的中心，作平面，与棱交于，若，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．3．已知椭圆：.对于任意实数，椭圆被下列直线中所截得弦长，与被直线：所截得的弦长不可能相等的是（）A．B．C．D．4．对任意正整数与（），用表示不超过且与互质的正整数的个数（其中表示不超过的最大整数），则（）A．11B．13C．14D．195．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）A．是锐角三角形，也是锐角三角形B．是钝角三角形，也是钝角三角形C．是锐角三角形，则是钝角三角形D．是钝角三角形，则是锐角三角形6．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列：5，9，14，20，…，为“梯形数列”。根据“梯形”的构成，可知（）A．166247B．196248C．196249D．196250二、填空题（每题6分，，每小题8分，满分48分，将答案填在答题纸上）7．已知函数满足，，则．8．已知，，为上三点，且，则数量积．9．已知，若关于的方程（为虚数单位）有实数根，则复数的模的最小值是．10．对正整数，定义，记，则．11．设，，则．12．设函数是定义在上的可导函数，其导数为，且有，则不等式的解集为．三、解答题（本大题共4小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．在锐角中，，且，，为角，，的对边.（1）求的值；（2）若，试求当取得最大值时，的面积的值.14．已知数列满足，（），其中为的前项和.（1）求证：为等差数列；（2）若对任意的，均有，试求的最大值.15．已知，，且.（1）求证：；（2）如果，是的两个零点，求证：.16．如图所示，是椭圆（，）的斜率等于1的弦，的垂直平分线与椭圆交于两点，，设的中点为，交于点.（1）求证：；（2）求证：四点，，，共圆.2017年湖南省高中数学联合竞赛试题参考答案一、选择题1-3:BAD4-6:BCD二、填空题7．248．09．10．11．12．三、解答题13．解：（1）∵锐角中，，∴，，∴，于是.（2）∵，再由余弦定理，有，因此的最大值为9，此时，.14．解：（1）∵，∴，即，因此，故，这说明是一个以为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）可知，∴.于是不等式，即，∴对任意的恒成立，记，则，于是，即是关于的增函数.故的最小值为，∴，即的最大值为3.15．解：（1）∵，，且，∴不妨设.则一方面，，记，则不等式，再记，则，由得，并且时，，所以在上为增函数，故.另一方面，，记，则不等式，设，则，由得，并且时，，所以在上为减函数，故.综上，.（2）∵，是的两个零点，∴……①且……②，①②两式相减，得，由（1）已证，故，①②两式相加，得，因而，故.16．证：（1）设：，代入，整理，得于是，，，∴，同时，的中点坐标为.再设：，代入，整理，得于是，，，∴，同时，的中点坐标为.∴，注意到，，∴，并且，因此，.（2）由（1）已证，又为的中点，为的中点，∴，，于是，事实上，，因而，，故，，，四点共圆，且圆心为.