中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网1962年试题试卷上不必抄题,但须写明题号,例如1,5(1)等1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21％.问平均每年比上一年增长百分之几?又第一年的产量是第三年的产量的百分之几?(精确到1％)[Key]1.解(1)设每年平均增长x％,则∴x=10.答:每年平均增长10％.答:第一年产量是第三年的83％.2.求(1-2i)5的实部.[Key]∴(1-2i)5的实部是1+10(2i)2+5(2i)4=1-40+80=41.3.解方程:log(x-5)+log(x+3)-2log2=log(2x-9).[Key]3.解原方程可以写成或者(x-5)(x+3)=4(2x-9).化简,得x2-10x+21=0,或(x-3)(x-7)=0.∴x1=3,x2=7.当x=3时,x-5<0,而log(x-5)无意义,所以3不是原方程的解,经检验,x=7是原方程的解.[Key]5.求证:(1)圆内接平行四边形是矩形;(2)圆外切平行四边形是菱形.[Key]5.证明(1)设ABCD为圆内接平行四边形,因为平行四边形的对角相等,所以∠A=∠C.又因圆内接四边形的对角互补,得∠A+∠C=180°,∴∠A=∠C=90°,∴ABCD是矩形.(2)设平行四边形ABCD切圆于E、F、G、H(如图),则因从圆外一点所作的两条切线等长,得四式相加,得AB+CD=AD+BC.又因平行四边形的对边相等,得AB=CD,AD=BC.∴AB=BC∴ABCD是菱形.6.解方程组:并讨论:a取哪些实数值时,这个方程组(1)有不同的两组实数解;(2)有相同的两组实数解;(3)没有实数解.[Key]6.解:由(2),x=y-a,(3)代入(1),得y2-4(y-a)-2y+1=0,即y2-6y+4a+1=0.代入(3),得方程组的解为:讨论:(1)当a<2时,方程组有不同的两组实数解;(2)当a=2时,方程组有相同的两组实数解;(3)当a>2时,方程组没有实数解.7.如图,ABCD和ABCD都是正方形,而A、B、C、D顺次分AB、BC、CD、DA成m:n,并设AB=1.(1)求正方形ABCD的面积;[Key]7.解:(1)由于AB=1,AA:AB=m:n,得知又知BAB为直角三角形,故正方形ABCD的面积为8.D是△ABC内的一点,已知AB=AC=1,∠CAB=63°,∠DAB=33°,∠DBA=27°,求CD.(sin27°=0.4540.最后结果计算到小数点后两位.)[Key]8.解:在△ABD内,故根据正弦定理,又∠DAC=63°-33°=30°,故根据余弦定理,在△ADC内,CD2=1+AD2-2ADcos30°=1+0.9080×(0.3027-1)=1-0.9080×0.6973=1-0.6331=0.3669.∴CD=0.60.9.由正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作这个正方体的对角线A1C的垂线,垂足为E.证明:A1E:EC=1:2.(要求画图)[Key]9.证明;作AC,则A1A⊥AC.故△A1AC为直角三角形.设正方体的棱长为1,则在直角三角形A1AC中,AE⊥A1C,∴A1A2=A1E·A1C,即1=AE·A1C.同理,AC2=EC·A1C,即2=EC·A1C.由此得A1E:EC=1:2.10.求证:两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内.[Key]10.证明:在这四条直线中,任取两条直线a、b,设其交点为P.因为四条直线不通过同一点,所以在另外两条直线中,至少有一条直线c不通过P,直线c必与a、b分别交于不同的两点.因此,c必在a、b所决定的平面内.第四条直线d与a、b、c至少交于两个不同的点,所以d也在a、b所决定的平面内.