层次分析法AnalyticHierarchyProcess（AHP）杨昆制作一.层次分析法的概述层次分析法（AnalyticHierarchyProcess简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。二.层次分析法的步骤和方法????建立层次结构模型构造判断(成对比较)矩阵层次单排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验1）建立层次结构模型将决策的目标，考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、方案层和准则层，绘出层次结构图。????最高层：决策的目的、要解决的问题。方案层：决策时的备选方案。准则层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。?下面以大学生就业为例子大学生的目标是选择一家好的公司，这便是目标层。选择公司的准则包括：收入，前景，工作环境，生活环境，自己的贡献等，这便是准则层。可以供大学生选择的公司有多家，这多家公司便是方案层。?以一个图形来表示目标层贡献公司选择准则层收入发展前景工作环境生活环境公司三方案层公司一公司二2）构造判断（成对比较）矩阵在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出：一致矩阵法，即：1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1―9标度方法给出。标度135792,4,6,8倒数含义表示相比较的两个元素具有同样的重要性表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要上述两相邻判断的中值因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij目标层O(选择旅游地)准则层C1景色C2费用C3居住C4饮食C5旅途设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性Ci：Cj?aij???A??????121/41/31/31/211/71/51/5471233?55??1/21/3??11?11??31A?(aij)n?n,aij?0,aji?aij现在要由A来确定C1,C2,…,Cn对O的权向量。稍加分析就可以发现A矩阵存在问题。?1不一致情况：A??2?????1/214??7?????不一致a21?2(C2:C1)一致比较a13?4(C1:C3)a23?8(C2:C3)允许不一致，但是要保持在一定的范围内?w1考察完全一致的情况?w?1W(?1)?w1,w2,?wn可作为一个排序向量?w2A??w1成对比较?令aij?wi/wj????满足aij?ajk?aik,i,j,k?1,2,?,n?wn的正互反阵A称一致阵。?w1?w1w2w2w2wnw2???w1?wn??w2?wn????wn?wn??一致阵性质?A的秩为1，A的唯一非零特征根为nAw?nw但允许范围是多大？如何界定？?非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，Saaty等人建议用对应于最大特征根?的特征向量作为权向量w，即Aw??w三.层次单排序及其一致性检验对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。对于一致阵，存在如下定理：n阶一致阵的唯一非零特征根为nn阶正互反阵A的最大特征根??n,当且仅当?=n时A为一致阵由于λ连续的依赖于aij，则λ比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ-n数值的大小来衡量A的不一致程度。定义一致性指标:CI?CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有满意的一致性CI越大，不一致