利用递推公式求数列通项公式及各种数列求和（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）利用递推公式求数列通项公式及各种数列求和一、数列求通项（一）叠加法1．已知数列满足，求数列的通项公式。2．已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。（二）叠乘法1．已知数列的，求这个数列的通项公式（三）待定系数法1．已知数列满足，且。解：（）变形后可得，所以可得1，所以{1}是一个以为首项，2为公比的一个等比数列，所以1（）从而1，即2．若数列的递推公式为，且（四）构造法1．中，若求an+4,即＝４，｝是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{an}的通项。2．数列{an}中，an≠0，且满足求an3．数列{an}中，求an通项公式。4．数列{an}中,求an.5．已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。（五）与混合题型1．已知数列的前项和，求2．数列中前n项的和，求数列的通项公式.解：∵当n≥2时，令，则，且是以为公比的等比数列，∴.构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.3．数列中，，前n项的和，求.解：，∴∴4．已知数列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通项公式．解：∴是以1为首项，公差为2的等差数列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．∴an=Sn－Sn－1==∴an=二、数列求和（一）公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、差数列求和公式：2、等比数列求和公式：（二）错位相减这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。1．已知数列,求前n项和2．求和.（三）分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。1、求数列的前项和.注意等比数列求和公式不要用错！2、求数列的前项和.（四）裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1．求数列，，，…，，…的前n项和S解：∵=）Sn===2．求数列的前n项和导析：通项求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.三、换元法例3已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为：是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。由于又所以，即四、积差相消法例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，，…，，…满足=且，求的通项公式.解将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，，故有⑴⑵…………()由⑴+⑵+…+()得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故.五、取倒数法例6已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.七、平方（开方）法例8若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基