数列不等式证明初探数列不等式证明初探数列与不等式的综合问题常常出现在高考的是历年高考命题的热点，这类问题能有压轴题中，效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问本文介绍一类与数列和有关的不等式问题的能力．而求解途径一题，解决这类问题常常用到放缩法，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．般有两条：一．先求和后放缩例1．正数数列{an}的前n项的和Sn，满足2Sn=an+1，试求：（1）数列{an}的通项公式；（2）设bn证：Bn<124Sn=(an+1)2=1anan+1，数列{bn}的前n项的和为Bn，求解：1）由已知得（，n≥2时，224Sn?1=(an?1+1)2，作差得：4an=an+2an?an?1?2an?1，所以(an+an?1)(an?an?1?2)=0，又因为{an}为正数数所以an?an?1=2，{an}是公差为2的等差数列，列，即由2S1=a1+1，得a1=1，所以an（2）bn==2n?111111==(?)，所以anan+1(2n?1)(2n+1)22n?12n+11Bn=111111111(1?+?L?)=?<23352n?12n+122(2n+1)2如果此数列的前注：一般先分析数列的通项公式．n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和的方式一般求和再放缩的方法来证明不等式．要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{an}满足条件an+1?an=f(n)）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an2+an=2Sn.(1)求证：Sn<(2)求证：Sn2an2+an+124；Sn+1?12<S1+S2+???+Sn<（1解：1）在条件中，令n=1，得a12+a1=2S1=2a1，（Qa1>0∴a1=1，又由条件2an+an=2Sn有2an+1+an+1=2Sn+1，上述两式相减，注意到an+1=Sn+1?Sn得(an+1+an)(an+1?an?1)=0Qan>0∴an+1+an>0∴an+1?an=1所以，an=1+1×(n?1)=n，Sn=n(n+1)22n(n+1)1n2+(n+1)2an+an+1<?=所以Sn=222422因为n<n(n+1)<n+1，（2）所以所以S1+S2+LSn=<22+32+L+n+12n2<n(n+1)n+1<，221×22×3n(n+1)++L+222=n2+3n22=Sn+1?12S1+S2+LSn>12nn(n+1)Sn++L+==2222222．放缩后成等比数列，再求和a例3．1）a,n∈N*,a≥2,证明：2n?(?a)n（设2≥(a+1)?an；（2）等比数列{an}中，a1=?1，前n项的和为An，a成等差数列．且A7,A9,A8成等差数列．设bn=n1?an2，数列{bn}前n项的和为Bn,证明：Bn<1（1解：1）当n为奇数时，an（≥a,于是，3a2n?(?a)n=an(an+1)≥(a+1)?an．当n为偶数时，a?1≥1，且an≥a2，于是a2n?(?a)n=an(an?1)≥(a2?1)?an=(a+1)(a?1)?an≥(a+1)?an（2）∵A9?A7=a8+a9，A8?A9=?a9，a8+a9=?a9，∴公比q=a9=?1．a8231∴an=(?)n．bn=214n11?(?)n2=11≤n4?(?2)3?2nn．所以Bn=b1+b2+Lbn11(1?2)11112=1(1?1)<1．≤++L+=?22n13?23?23333?22n1?23．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{an}满足：a1=1，n)an(n=1,2,3L)．2nn+1求证：求证：an+1>an≥3?n?12n证明：因为an+1=(1+n)an，所以an+1与an同号，又因2an+1=(1+为a1=1>0，所以an即an+1?an=>0，nan>0，即an+1>an．所以数列{an}为递2n≥a1=1，增数列，所以an即an+1?an=nnan≥n，累加得：n2212n?1an?a1≥+2+L+n?1．22212n?1112n?1令Sn=+2+L+n?1，所以Sn=2+3+L+n，2222222两式