【标题】数列求和初探【作者】陈淘健【关键词】数列数列求和数列求和公式【指导老师】杨红【专业】数学与应用数学【正文】1.引言数列是高中数学的一个重点和难点之一,许多同学在学习数列时总是感到一筹莫展,他不仅和中学的函数联系在一起,而且和高等数学的离散数学和数学分析也有密切的联系。通过这篇文章我想培养学生将等差数列,等比数列的知识灵活运用,培养和提高学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。在高中课本中只介绍了"公式法求和","错位相减法求和"。但是对"反序相加法求和",合并法求和,数列的'通项分析法'求和,分部求和,组合化归法求和,递推法求和等方法介绍少之又少。因此,我通过本文谈一谈我的想法。2.利用常用求和公式求和公式法书本中写得非常详细,我相信大部分人都已理解和掌???了,这里就简单一点介绍下公式,下列就是常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1.等差数列求和公式:2.等比数列求和公式:3.4.5.基本求和公式是比较容易理解的,但是在运用上面许多同学就有点无能为力了。为了给大家一个清楚明了的理解公式法请看下面例1。2.1例1.已知,求的前n项和.解:由,由等比数列求和公式得+...===1-这是我们学习中的最简单的数列求和公式,在这里我就不多说明了。3.错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an?bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.这种方法在同学解题过程中是比较常用的,在我讲解等比数列求和时,我们就是用这种方法推出的等比数列求和公式,为了让大家进一步掌握这种方法请看下例2和例3他将介绍该方法的解题思路。3.1例2.求和:①解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积当,当设.②(设制错位)①-②得(错位相减)再利用等比数列的求和公式得:∴3.2例3.已知,数列是首项为a,公比也为a的等比数列,令,求数列的前项和。解析:①-②得:。在这个方法里面,设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列的前项和求解,均可用错位相减法。4.反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.这也是比较常用的一种方法,其具体怎么用请看例4和例5而例6是??数与不等式和数列相结合的例题。4.1例4.求的值解:设.①将①式右边反序得..②(反序)又因为①+②得(反序相加)=89∴S=44.54.2例5.设数列是公差为,且首项为的等差数列,求和:解:因为分析:此类问题还可变换为探索题形:已知数列的前项和,是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。4.3例6.已知函数,点,是函数图像上的两个点,且线段的中点的横坐标为.(Ⅰ)求证:点的纵坐标是定值;(Ⅱ)若数列的通项公式为,求数列的前m项的和;分析:这是一道函数、数列、不等式的综合问题.对于(Ⅰ),直接验证即可;对于(Ⅱ),观察的构成:,可知(Ⅰ)的结论又为(Ⅱ)作了铺垫;对于(Ⅲ),则应在(Ⅱ)的基础上,充分利用"恒成立",结合函数、不等式的知识去解决.总之,本题层层递进,每一小题均为后一小题的基础,因此,从(Ⅰ)开始,认真走好每一步是解决好本题的关键.(Ⅰ)由题可知:,所以,点的纵坐标是定值,问题得证.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:对任意自然数,恒成立.由于,故可考虑利用倒写求和的方法.即由于:所以,所以,5.分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.在解决这类题目时需要一定的技巧性,在分组的时候,一定分组后能求和,不能越分越麻烦。下面例题就介绍了这样去分组和分组求和。5.1例7.求数列的前n项和:,解:设将其每一项拆开再重新组合得(分组)当a=1时,=(分组求和)当时,=5.2例8.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解:设∴=将其每一项拆开再重新组合得Sn=(分组)==(分组求和)=6.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:(1)(2)(3)(4)(5)(6)看了上面6个例子的裂项,我们是不是有了一定的裂项经验和方法,例9就是对上面例子的说明和讲解。6.1例9.求数列的前n项和.解:设(裂项)则(裂项求和)==7.合并法求和针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.7.1例10.求cos1°+cos2°+cos3°+???+cos178°+cos179°的值.解:设Sn=cos1°+cos2°+cos3°