数学数列中由递推关系求数列的通项题型归类（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）数列中由递推关系求数列的通项题型归类新教材明确指出：数列可以由其递推关系式及前几项给定。根据递推关系求解通项，除用计算----猜想----证明的思路外，通常还可以对某些递推关系式进行变换，从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。1类型一：（其中d是常数）显然，由知｛｝是等差数列，则2类型二：（其中q是不为0的常数）显然，则知｛｝是等比数列，于是3类型三：，方法：叠加法例1、在数列｛｝中，，且，求.解：由得，…………由上面等式叠加得，故。4类型四：，方法：叠乘法例2、在数列｛｝中，，且，求.解：由已知得，，则有，，，……，，这（）个等式叠乘得，，则。5类型五：（其中p，q是常数，且）方法：参数法例3、已知数列｛｝满足，且，求.解：引入参数c，令，即，与已知比较知c=1，于是有，即数列｛－1｝是以为首项，3为公比的等比数列，则，故6类型六：（1）若（其中k,b是常数，且）方法：升降足标法例4、在数列｛｝中，，且满足，求.解：∵①，∴，两式相减得，，令，则，利用类型五的方法知，，即②，再利用类型三的方法知，；亦可联立①、②解出。（2）若（其中r是常数，且）方法：两边同乘例5、在数列｛｝中，，且满足，求.解：将已知的两边同乘，得，令，则，利用类型五的方法知，则。7类型七：（其中p，q是不为0的常数）方法：倒数法例6、数列｛｝中，若，，求.解：∵，∴，即数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列，则，即。变式：若类型七变为的结构时，仍可使用倒数法。例7、在数列｛｝中，若，，求.解：∵，∴，令，则，利用类型五知，，则。8类型八：（其中p，r为常数，且）方法：对数法例8、在数列｛｝中，若，，求.解：由，知，对两边取以3为底的对数得，，则数列｛｝是以为首项，2为公比的等比数列，则，，即。9类型九：（其中p，q为常数，且）方法：转化法例9、数列｛｝中，若，，且满足，求.解：把变形为，则数列｛｝是以为首项，3为公比的等比数列，则利用类型三的方法可得，。变式：若结构变为（其中p，q为常数，且满足）方法：待定系数法例10、已知数列｛｝满足，且，，求.解：令，即，与已知比较，则有，故或下面我们取其中一组来运算（另一组同学们自己练习），即有，则数列｛｝是以为首项，3为公比的等比数列，故，即，利用类型六（2）的方法，可得。十类型十：递推关系由与的关系给出方法：运用互化解决例11、已知数列｛｝的前n项的和为，且满足，又，求.解：∵时，有，∴由，得即，亦即，故数列｛｝是以为首项，2为公差的等差数列，∴，则故当时，显然上式对时不成立，则十一其它类型例12、数列｛｝中，，，求.解：由知，，即有，故数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列，从而，则评注：方法是配方法。例13、设数列｛｝是首项为1的正项数列，且满足，求.解：原递推式可以分解为由于，则有，故知，利用类型四的方法可解出。评注：方法是因式分解法。例14、已知数列｛｝中，，数列｛｝中，，且当时，，，求，.解：由于，两式相加得①再由两式相减得，这表明数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，则②联立①、②，解之得：，评注：方法是加减法。例15、已知数列｛｝中，，，，（其中），求.解：由知，，再由知，，于是，则于是综上可知：当时，当时，评注：方法是奇偶分类法。总之，由递推关系求数列的通项，核心是把所给递推式变形构造成等差或等比数列来解决。同学们应该熟练掌握上面归纳整理的这些常见的递推关系，以利于正确、快速地解决相关问题。征方程法求解递推关系中的数列通项湖北省竹溪县第一高级中学徐…wybylw毕业论文2021-9-191:48:18考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例