第四讲圆周运动案例分析ROFNG一.拱形桥1、汽车过拱桥（凸形桥）时，汽车对桥的压力小于其重力。如图所示，汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力及桥对其支持力的合力提供向心力，则有：，所以______________________根据牛顿第三定律，有汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力大小小于其重力。由表达式，可以看出，越大则越。当时，可得，求得。若速度大于时，汽车所需的向心力会重力，此时，重力已经没办法再提供所需的向心力，所以汽车将“飞”离桥面。ROFNG2、汽车过凹形桥时，汽车对桥的压力大于其重力。如图所示，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力，则有：，所以_______________________________根据牛顿第三定律，由表达式，可以看出，越大则越。【总结】1、汽车过凸形桥最高点时，向心加速度指向圆心，加速度向，处于重状态。汽车对桥的压力重力，若v=，则压力最小，为；若v=，则压力最大，为。故汽车要能安全通过凸形桥的条件是：在最高点时，汽车的速度要2、汽车过凹形桥最低点时，向心加速度指向圆心，加速度向，处于重状态。汽车对桥的压力重力，若v=，则压力最小，为；随着v的增大，汽车对桥的压力也。v【例1】如图所示，汽车以一定的速度v通过一圆形的拱桥顶端时，汽车受力的说法中正确的是：（）A.汽车的向心力就是它所受的重力B.汽车所受的向心力是它所受的重力和支持力的合力,方向指向圆心C.汽车受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用D.以上均不正确【例2】汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧，弹簧拴一质量为m的小球。当汽车在水平面上匀速行使时，弹簧长度为L1，当汽车以同一速度通过一桥面为弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列正确的是（）A.＝B.>C.<D.前三种情况均有可能二。竖直平面内的圆周运动的两种模型1、没有支撑的小球（绳系小球；小球在圆轨道内侧运动）如图a和图b所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点时，物体是无法提供支持力的，只能是提供拉力或压力，具体情况如下：（1）临界条件：小球处于最高点时，一定受到竖直向下的，还有可能受到的拉力或压力。这些力的合力提供，则有，由此可以看出没有拉力或压力时，最小为。根据向心力公式，半径一定时，向心力最小对应的速度也为最小，此时有：，可得。（2）能过最高点的条件：，当时，绳对球产生力，或轨道对球产生力。（3）不能过最高点的条件：，实际上球还没有到达最高点时就脱离轨道了。2、有支撑的小球（杆连小球；小球套在光滑圆环上或小球在圆环管内）如图c、d、e所示，有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点时，物体是既能提供支持力，也能提供拉力或压力，具体情况如下：小球处于最高点时，一定受到竖直向下的，还有可能受到物体对它的作用力，可以是的支持力，也可以是的拉力或压力。这些力的合力提供向心力，则有（1）当，即物体对小球没有作用力时，，再根据向心力公式，有：，可得。（2）当时，根据向心力公式，可得，此时，为拉力或压力，且越大，所需要的，也就是。（3）当时，根据向心力公式，可得，此时，为支持力，且越大，所需要的，也就是。OR综上所述，对有支撑的小球，要能通过最高点，只要在最高点的速度即可。【例1】如图所示，小球黏在长为R的直杆的一端，球随杆绕O点在竖直平面内作圆周运动，在小球运动到最高点时，下列关于球的线速度v和球对杆的作用力F的描述中，正确的是（）A.v=0时，F＝0B.v＝时，F＝0C.v>时，F表现为拉力D.v<时，F表现为压力【例2】质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（）A、0B、mgC、3mgD、5mg【例3】长l＝0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于o点，上端连有质量m=2kg的小球，它绕o点在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，如图，g=10m/。求：Ov（1）当＝1m/s时，杆受到的力的大小，并指出是压力还是拉力（2）当＝4m/s时，杆受到的力的大小，并指出是压力还是拉力三、火车转弯F合=mgtanα≈mgsinα=mg由牛顿第二定律得：F合=m所以mg=m即火车转弯的规定速度v0=a．当火车以规定速度v0转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力。b．当火车转弯速度v>v0时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力。c．当火车转弯速度v<v0时