专题四：圆的一些补充一．知识点精析1．圆的基本知识；2．圆的内接四边形：⑴⑵⑶3．弦切角定理与切线长定理；4．圆幂定理：⑴相交弦定理及其推论；⑵切割线定理；⑶割线定理；5．四点共圆：四点共圆是平面几何证明中的一个十分有力的工具，通过证四点共圆常常得到一些重要的结果。掌握四点共圆的一些基本知识对我们是有好处的：⑴到一定点等距的几个点共圆；⑵同斜边的直角三角形的各顶点共圆；⑶同底同侧等角的三角形的各顶点共圆；⑷若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；⑸若四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；⑹四边形ABCD的对角线相交于点P，若PA?PC?PB?，则它的四个顶点共圆。⑺若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长PD线相交于P，且PA??PC?PBPD，则它的四个顶点共圆。注意，这些结论的逆命题也是成立的，此外，若四边形ABCD的四个顶点共圆，则AB??AD?。6．与圆有关的三角形：外接三角形；CDBC?AC?（托勒密定理）BD内切三角形；切点三角形；二．值得注意的几个问题：1．圆中常见的辅助线：⑴垂径定理：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形；⑵圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等：连结弦，构造角等，转移；⑶切线的性质：连结圆心和切点，建立垂直；⑷公共弦：当两圆相交时，连结公共弦；⑸公切线：两圆外切时，内公切线；两圆内切时，外公切线；⑹基本模型。y2．在处理圆的有关复杂问题时，要富有想象力，大胆创新，不可按部就班，拘泥细节。G三．典型例题OAO'Bx1．已知，如图，在平面直角坐标系中，半径为22的?O与y轴交于A、B两点，与直线OC相切于点C，?BOC?45?，BC?OC，垂足为C。'CD例1图?⑴判断?ABC形状；⑵在BC上取一点D，连结DA、DB、DC，DA交BC于点E。求证：BD?CD?AD?；⑶延长BC交x轴于点G，求经过O、C、G三点的二次函数的解析式。ED2．如图，已知四边形ABCD为?O的内接四边形，E是BD上的一点，且有?BAE??DAC。求证：⑴?ABE∽?ACD；⑵AB??AD??AC?；CDBCBDDA3．在?ABC中，AB?AC，有圆内切于?ABC的外接圆于点D，A且与AB和AC分别相切于点P、Q。求证：P和Q的连线中点是EBOCPBKIQC?ABC内切圆的圆心。例2图4．已知在凸五边形ABCDE中，?BAE?3?，BC?CD?DE，且?BCD??CDE?180??2?，求证：?BAC??CAD??DAE。5．如图，AB是?O的直径，过圆上一点D作?O的切线DE，与过点D例3图CEADBF例5图A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点。⑴求证：点D为BC的中点；A⑵设直线EA与?O的另一个交点为F。求证：CA2?AF2?4CE?EA；1?，?O的半径为r，求由线段DE、AE和?所围成的阴影部分的面积。⑶若?ADAD?2DBMKPQNC6．D为?ABC的边BC上的点，作?ABD和?ACD的内切圆，并作它们的外公切线MN（异于BC的外公切线），交AD于点K。证明：线段AK的长度与点D在BC上的位置无关。7．如图，给定一个锐角?ABC，以AB为直径的圆与AB边上的高线CC及其延长线交于M、N，以AC为直径的圆与AC边上的高线BB及其延长线交于P、Q，证明：M、N、P、Q四点共圆。''BE例6图DFNAC'PMQB'B例7图C四．针对性训练1．如图，设A为?O外一点，AB、AC和?O分别切于B、C两点，APQ为?AO的一条割线，过点B作BR?AQ交?O于点R，连结CR交AQ于点M。试证：A、B、C、O、M五点共圆。2．如图在?ABC中，BC?9，CA?12，AB?15，?ABC的平分线BD交AC于点D，DE?BD交AB于E。⑴求证：?ABC是Rt?；⑵设?O是?BDE的外接圆，求证：AC是?O的切线；⑶设?O交BC于点F，连结EF，求AE的长和EF:AC的值。PBMGRQOC第1题图EAODCADB第2题图F3．如图，BC是半圆O的直径，D是?的中点，求证：AC?BC?2BD?。CDACBA4．如图，已知四边形ABCD外接圆?O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，OD第3题图CAE?EC，AB?2AE，且BD?23，求四边形ABCD的面积。BOC5．如图，已知点P在半径为6，圆心角为90?的扇形OAB的?（不含端点）AB上运动，PH?OA，垂足为H，?OPH的重心为G。⑴点P在?上运动时，线段GO、GP、GH中有无长