1．(2016·银川模拟)对于不同的平面α、β、γ和不同的直线a、b、m、n，下列命题中正确的是()A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若a∥b，b⊂α，则a∥αC．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α解析：选C.对于A，只有m，n相交时结论才成立，故A错误；对于B，还有可能a⊂α，故B错误；选项C是面面平行的性质定理，故C正确；对于D，只有当a，b相交时结论才成立，故D错误．2．(2016·唐山统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C．1D.eq\f(1,3)解析：选A.由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以所求体积V＝V柱－V锥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2＝eq\f(2,3).3．(2016·大连双基测试)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．解析：由题意知DF＝eq\r(5)，A′E＝A′F＝1，A′D＝2，以A′E、A′F、A′D为棱，建立一个长方体，则体对角线长为2R＝eq\r(12＋12＋22)(R为球的半径)，R＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)4．如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错误；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立，③错误；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，所以∠PDA＝45°，所以④正确．答案：①④5．(2016·烟台一模)如图，在几何体ABCDEF中，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)若AF∥DE，DE＝3AF，点M在线段BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，求证：AM∥平面BEF.证明：(1)因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩DE＝D，从而AC⊥平面BDE.(2)延长EF、DA交于点G，连接GB，因为AF∥DE，DE＝3AF，所以eq\f(GA,GD)＝eq\f(AF,DE)＝eq\f(1,3)，因为BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\f(BM,BD)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(BM,BD)＝eq\f(GA,GD)＝eq\f(1,3)，所以AM∥GB，又AM⊄平面BEF，GB⊂平面BEF，所以AM∥平面BEF.6．(2016·大连双基测试)如图，棱长均为2的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，∠DAB＝60°，CC1⊥A1C1.(1)证明：平面DBB1D1⊥平面AA1C1C；(2)当∠DD1B1多大时，四棱锥C­BB1D1D的体积最大，并求出该最大值．解：(1)证明：由题知，棱柱的上、下底面都为菱形，则A1C1⊥B1D1，由棱柱的性质可知CC1∥BB1，又CC1⊥A1C1，故A1C1⊥BB1，又因为B1D1⊂平面DBB1D1，BB1⊂平面DBB1D1，B1D1∩BB1＝B1，所以A1C1⊥平面DBB1D1，又A1C1⊂平面AA1C1C，故平面DBB1D1⊥平面AA1C1C.(2)设AC∩BD＝O，由(1)可知AC⊥平面DBB1D1，故VC­DD1B1B＝eq\f(1,3)S四边形DD1B1B·CO.在菱形ABCD中，因为BC＝2，∠DAB＝60°，所以∠CBO＝60°，且BD＝2，则在△CBO中，CO＝BCsin60°＝eq\r(3).易知四边形DBB1D