2010年高考理科数学创新试题选编上杭一中林文柱一、客观题1．设函数，则满足方程根的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个2.已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．2D．43．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面的斜坐标系；在平面的斜坐标系中，若（其中分别是斜坐标系轴、轴正方向上的单位向量，、，为坐标原点），则称有序数对为点的斜坐标。在平面的斜坐标系中，若=，点M的斜坐标为，则以M为圆心，半径为1的圆在斜坐标系中的方程为（）A．B．C．D．4、已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象是关于直线y=x对称，则g(x)+g(-x)的值为（）A．2B．0C．1D．不能确定5.已知数列的前10项为，据此推测等于6．已知向量，||=1.则函数y=的最大值为.7、定义在上的函数满足，，，且当时，有，则的值为（）A.B.C.D.二、解答题1、通项、前n项和的求解（与算法交汇创新）【举例】根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为y1，y2，…，yn，…，y2007。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn，并证明你的结论；（Ⅲ）求2、数学期望的求解（与三角函数交汇创新）【举例】已知随机变量满足下列分布列cosBsinCPcos2Asin(B+C)其中A、B、C为锐角三角形的三个内角。（1）求A（2）求的取值范围3、概率通项的求解（与数列交汇创新）4、三角函数值的求解（与导数积分交汇创新）【举例】对于函数f(x)=bx3+ax2-3x.（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2cos2t+,试求实数t的取值范围；（2）若f(x）为实数集R上的单调函数，且b≥-1,设点P的坐标为（a,b)，试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.5、数列通项与不等式的求解（与三角函数交汇创新）【举例】设方程eq\r(3)tan2πx－4tanπx＋eq\r(3)＝0在[n－1，n)(n∈N*)内的所有解之和为an．（1）求a1、a2的值，并求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足条件：b1＝2，，求证：eq\f(1,2b1－3)＋eq\f(1,2b2－3)＋…＋eq\f(1,2bn－3)＜2．6、解析几何部分（存在性问题探究，尤其是圆锥曲线中定值、定点、定直线问题的类比与拓展）【举例1】（自编试题）已知，已知椭圆:的一个焦点（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过焦点作x轴的垂线交椭圆上半部分于点P，A、B是椭圆C上的两个动点，如果直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，可以证明直线AB的斜率为定值，并求这个定值。（3）探究这个不变的斜率与椭圆的离心率和定点P的坐标关系，并说明这个定值的几何意义（不必证明）【举例2】（文科）（自编试题）已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小1。（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由；②过抛物线上顶点以外的定点任作相互垂直的弦，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请写出点的坐标（不必证明）。【举例3】（自编试题）以为焦点的椭圆C过点P(1)求椭圆的方程。（2）设A（x1，y1）为椭圆上的任意一点，过点A作一条斜率为的直线l，又设d为原点至直线l的距离，r1，r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。试证明：（3）探究这个不变的常数与椭圆的长轴和短轴长的关系，并说明①直线l与椭圆的位置关系②直线l与AF1、AF2所成角的大小关系（不必证明）【举例4】（自编试题）已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小1。（1）求动点的轨迹方程；（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由；②若过抛物线上顶点以外的定点任作相互垂直的弦，探究弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说