第四章大数定律与中心极限定理教学目得与教学要求:了解特征函数得定义与常用分布得特征函数;理解并能应用大数定律;掌握依概率收敛与按分布收敛得概念;掌握并能应用独立同分布下得中心极限定理。教学重点:大数定律、依概率收敛与按分布收敛得概念、中心极限定理。教学难点:大数定律与中心极限定理得应用。教学措施:理论部分得教学多采用讲授法,注意思想方法得训练,计算类问题采用习题与讨论得方法进行教学。教学时数:12学时教学过程:§4、1特征函数特征函数就是处理概率论问题得有力工具,其作用在于:(1)可将求独立随机变量与得分布得卷积运算化成乘法运算;(2)可将求各阶矩得积分运算化成微分运算;(3)可将求随机变量序列得极限分布化成一般得函数极限问题等。§4、1、1特征函数得定义定义4、1、1设就是一个随机变量,称其中为虚数单位,为得特征函数。注:因为,所以总就是存在得,即任一随机变量得特征函数总就是存在得。特征函数得求法:(1)当离散随机变量得分布列为则得特征函数为;(2)当连续随机变量得密度函数为,则得特征函数为。特征函数得计算中用到复变函数,为此注意:(1)欧拉公式:;(2)复数得共轭:;(3)复数得模:。例4、1、1常用分布得特征函数(1)单点分布:,其特征函数为;(2)分布:,其特征函数为;(3)泊松分布:,其特征函数为;(4)均匀分布:因为密度函数为,所以其特征函数为;(5)标准正态分布:因为密度函数为,所以其特征函数为;(6)指数分布:因为密度函数为,所以其特征函数为。§4、1、2特征函数得性质性质4、1、1。性质4、1、2,其中就是得共轭。性质4、1、3若,其中、就是常数,则。性质4、1、4独立随机变量与得特征函数为特征函数得积,即设与相互独立,则。性质4、1、5若存在,则得特征函数可次求导,且对,有。注:上式提供了一条求随机变量得各阶矩得途径,特别可用下式去求数学期望与方差,、。例4、1、2利用特征函数得方法求伽玛分布得数学期望与方差？解:因为得特征函数,从而于就是所以。定理4、1、1(一致连续性)随机变量得特征函数在上一致连续。定理4、1、2(非负定性)随机变量得特征函数就是非负定得,即对任意正整数及个实数、、…、与个复数、、…、,有。定理4、1、3(逆转公式)设与分别就是随机变量得分布函数与特征函数,则对得任意两个连续点,有。定理4、1、4(唯一性定理)随机变量得分布函数由其特征函数唯一决定。定理4、1、5若为连续随机变量,其密度函数为,特征函数,如果,即,则有。§4、2大数定律在本课程一开始引入事件与概率得概念时,曾指出就一次试验而言,一个随机事件可以出现也可不出现,但作大量得重复试验则呈现出明显得规律性(统计规律性),即:任一事件出现得频率就是稳定于某一固定数得,这固定数就就是该事件在一次试验下发生得概率,这里说得“频率稳定于概率”,实质上就是频率依某种收敛意义趋于概率,“大数定理”就就是解释这一问题得。由于正态分布在概率统计中得重要地位与作用,因而用很多时间介绍正态分布,为什么实际上有许多随机现象会遵循正态分布？这仅仅就是一些人得经验猜测还就是确有理论依据,“中心极限定理”正就是讨论这一问题得。§4、2、1伯努利大数定律定理4、2、1(伯努利大数定律)设为重伯努利试验中事件发生得次数,而就是事件在每次试验中发生得概率,则,有。证明:令,则、、…、就是个相互独立得随机变量,且、、,于就是由切比雪夫不等式得:从而即:。§4、2、2常用得几个大数定律一、大数定律得一般形式定义4、2、1设就是一随机变量序列,若,有成立,则称随机序列服从大数定律。二、切比雪夫大数定律定理4、2、2(切比雪夫大数定律)设为一两两不相关得随机变量序列,若每个得方差存在,且有共同得上界,即存在常数,使得,则,有。证明:由不相关性知:由切比雪夫不等式得:从而即:。三、马尔可夫大数定律定理4、2、3(马尔可夫大数定律)设为一随机变量序列,若马尔可夫条件成立,则,有。例4、2、1设为一同分布、方差存在得随机变量序列,且仅与与相关,而与其她得不相关,试问该随机变量序列就是否服从大数定律？解:由于为相依随机变量序列,于就是利用马尔可夫大数定律判断记,则,从而即马尔可夫条件满足,故结论成立。四、辛钦大数定律定理4、2、4(辛钦大数定律)设为一独立同分布得随机变量序列,若得数学期望存在,则,有。注意:(1)伯努利大数定律就是切比雪夫大数定律得特例;(2)切比雪夫大数定律就是马尔可夫大数定律得特例;(3)伯努利大数定律就是辛钦大数定律得特例。§4、3随机变量序列得两