知识点一:动点问题例1（2009·遂宁市）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.⑴求证：EF+GH=5cm；⑵求当∠APD=90o时，的值．解析：⑴∵矩形ABCD，AD=10cm，∴BC=AD=10cm∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO的中点，∴EF+GH=BP+PC=BC，∴EF+GH=5cm．⑵∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90o，又∵∠APD=90o，∴由勾股定理得AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+(BC-BP)2+2AB2=BP2+(10-BP)2+32,即100=2BP2-20BP+100+32解得BP=2或8(cm)当BP=2时,PC=8,EF=1,GH=4,这时当BP=8时,PC=2,EF=4,GH=1,这时∴的值为或4．知识点二动线问题例2（2009·东营市）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）当MN和AB之间的距离为米时，求此时△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．EABGNDMC解析：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为米.所以，S△EMN=（平方米）.即△EMN的面积为平方米.…………2分（2）EEABGNDMC图2HFNEBBGDMABC图1图2①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，△EMN的面积S==；②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，∵E为AB中点，∴F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝.又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．∴，即．故△EMN的面积S＝＝；综合可得：（3）①当MN在矩形区域滑动时，，所以有；②当MN在三角形区域滑动时，S=.因而，当（米）时,S得到最大值，最大值S===（平方米）.∵，∴S有最大值，最大值为平方米.知识点三动形问题例3（2009·台州市）如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．（1）请直接写出点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．备用图解析：（1）由题意，得：；（2）设抛物线为，抛物线过，解得∴．（3）①当点A运动到点F时，当时，如图1，图1∵，∴∴∴；②当点运动到轴上时，，当时，如图2，图2∴∴，∵，∴；③当点运动到轴上时，，当时，∵，∴，∵，∽∴，∴，∴=．（解法不同的按踩分点给分）（4）∵,,∴==．图4随堂检测：1.（2009·甘肃省兰州市）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．2.（2009·内蒙古省包头市）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点