2011年北京市高职高专数学竞赛辅导材料2011-7-7应用科技学院公共基础部微积分竞赛辅导12．定积分几何应用（1）平面区域面积：由曲线及直线所围面积。a）若平面图形是由连续曲线，和直线围成。在区间上有，如图所示，称这样的图形是-型的。b）若平面图形是由连续曲线,和直线围成。在区间上有，称这样的图形是-型的。（2）求平面区域面积方法：若选为积分变量先由左右观察平面图形范围，确定积分下、上限；然后用“上面的”曲线方程减去“下面的”曲线方程做为被积函数，就可求出该平面图形的面积。若曲线与出现“上下交替”，先求出两条曲线交点坐标，把积分区间分为若干部分，从而平面图形也相应分成若干部分：若选为积分变量:先由下上观察平面图形范围，确定积分下、上限；然后用“右面的”曲线方程减去“左面的”曲线方程做为被积函数，可以得到该平面图形的面积。若曲线与出现“左右交替”，先求出两条曲线交点坐标，把积分区间分为若干部分，从而平面图形也相应分成若干部分：例：求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。解①先求交点解得交点为和，所求面积可看作是曲线，，图5-16和所围图形的面积，②选为积分变量，则积分下限为、上限为，在上任取一小区间，则可得到的面积微元故所求面积为：例：求由曲线与所围成的平面图形的面积。解:①先求交点做直线:，将所求平面图形面积分成两部分，。②选为积分变量：，在上任取一小区间，则可得到的面积微元：，则：在上任取一小区间，则可得到的面积微元：，则：，因此所求面积：（3）求旋转体体积：（假期先自学，开学后有辅导）旋转体是由平面内的一个图形绕平面内的一条定直线旋转一周而生成的立体。条定直线叫做旋转体的轴。用定积分的方法来求旋转体的体积方法：设一旋转体是由连续曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成，如左图所示。现计算它的体积。设一旋转体是由连续曲线直线围成的曲边梯形，绕轴旋转而成的旋转体（如左图示），现计算它的体积。图1例：椭圆分别绕x轴和轴旋转而成的旋转体的体积。解：（1）绕轴旋转：所求旋转体的体积为上半个椭圆绕轴旋转而成。如图1所示。根据图形的对称性有：图2图1。（2）绕轴旋转：所求旋转体的体积为右半个椭圆绕轴旋转而成。如图2所示。根据图形的对称性有：。