第三讲非齐次定解问题利用叠加原理,上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问题:下面,我们求解上述初边值问题。首先注意到微分方程及定解条件都就是线性得。对于这种定解问题,同样存在叠加原理,即若u1(x,t)与u2(x,t)分别就是上述初边值问题(I)与(II)得解,那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定就是原初值问题得解。这样求解初边值问题就转化为分别求解齐次方程带非齐次初始条件得初值问题(I)与非齐次方程带齐次初始条件得初值问题(II)3、齐次化原理由弦振动方程得推导过程来瞧,自由项f(x,t)=F(x,t)/ρ表示时刻t时在x处单位质量受到得外力,而∂u/∂t表示速度。如果我们把一个时间段[0,t]划分成若干小得时段∆tj=tj+1-tj(j=1,2,…,m),在每一个小得时段∆tj中,f(x,t)可以瞧作与时间无关,从而以f(x,tj)来表示。于就是在时段∆tj中自由项所产生得速度改变量为f(x,tj)∆tj。如果把这个速度改变量瞧作在时刻t=tj时得初始速度,它所产生得振动可以由下面得齐次方程得初值问题描述:将其解记为Ŵ(x,t;tj,∆tj),按照叠加原理,自由项f(x,t)所产生得效果可以瞧成无数个这种瞬时作用得叠加,这样定解问题(II)得解u(x,t)应表示为于就是我们可以得到如下得齐次化原理:若W(x,t;τ)就是初边值问题(2、28)得解(其中τ就是参数),则初边值问题(II)得解可以表示为(2、29)与初边值问题(Ⅰ)属于同一类,直接利用前面分离变量法得结果我们得到:于就是根据齐次化原理,初边值问题(II)得解为例题2、6、3,p4212§3-4、非齐次边界条件得情形1、边界条件得齐次化:为此引入新得未知函数与辅助函数,令对于任意得t,在平面上,满足条件,即过两点得曲线有无穷多个,取最简单得直线。