062-东北师大附中2011—2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案062分类加法原理与分步乘法原理编写教师：杨艳昌审稿教师：刘彦永一、知识梳理1．分类加法计数原理做一件事情，完成它可以有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m+n种不同的方法．HYPERLINK"http://www.21cnjy.com/"2．分步乘法计数原理做一件事情，完成它需要分成两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝mn种不同的方法．HYPERLINK"http://www.21cnjy.com/"注意：分类计数原理与分步计数原理，都有涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．二、题型探究题型一：分类计数原理的应用例1某学校高三(1)班有男生30人，女生20人；高三(2)班有男生30人，女生30人；高三(3)班有男生35人，女生20人．现从中选一名学生。(1)若从高三(1)班或(2)班或(3)班选，有多少种不同的选法？(2)若从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选，有多少种不同的选法？解：(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法；从高三(2)班60人中选一人有60种选法；同理，从高三(3)班中选一人有55种选法，∴共有50＋60＋55＝165(种)．(2)从高三(1)、(2)班男生中选有30＋30＝60(种)，从高三(3)班女生中选有20种，∴共有30＋30＋20＝80(种)．拓展提升:运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性．题型二：分步计数原理的应用例2现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班．共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？分析:完成的一件事是排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行．解:先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法．由分步计数原理可得值班表共有不同排法数为：5×4×4×4×4＝1280种．[拓展提升]解决问题时，理清思路，按事件发生的过程合理分步．例34封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是()（A）34（B）43(C)(D)解析：第n封信有3种投法(n＝1,2,3,4)，根据分步计数原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有3×3×3×3＝34种投法．答案：A题型三：两个原理的综合应用例4如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数为()（A）240（B）204（C）729（D）920解析：分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种；当中间数为3时，有2×3＝6种；当中间数为4时，有3×4＝12种；当中间数为5时，有4×5＝20种；当中间数为6时，有5×6＝30种；当中间数为7时，有6×7＝42种；当中间数为8时，有7×8＝56种；当中间数为9时，有8×9＝72种．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．答案：A例5如图，用6种不同的颜色给右图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_______种．(用数字作答)解法一:将4个区域标上数字1,2,3,4.先对区域1涂色，有6种方法，再对区域2涂色有5种方法，①3与1同色，4与2可以同色也可以不同色，不同涂色方法有6×5×(1＋4)＝150种；②3与1不同色，4只能与2或者1同色，不同涂色方法有6×5×4×(1＋1)＝240种，涂色方案共有150＋240＝390种．解法二:当使用两种颜色涂色种数为Ceq\o\al(2,6)×2＝30种．当使用三种颜色涂色时，可能1,3或1,4或2,4相同视为一个区域，涂色方案有Ceq\o\al(3,6)×Aeq\o\al(3,3)×3＝360种．涂色方案共有30＋360＝390种拓展提升:解决计数问题的基本思想就是先对问题进行分类，在每个类中再进行分步，根据乘法原理计算各个类的数目，最后根据加法原理计算总的数目．三、方法提升：