第十三单元推理与证明第一节合情推理与演绎推理②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过和,因此,它不能作为的工具.③归纳推理是一种具有的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们问题和问题.(3)三段论的常用格式为①②③其中,①是,它提供了一个一般性的原理;②是,它指出了一个特殊对象;③是,它是根据一般原理,对特殊情况作出的判断.且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处位置的坐标是.学后反思归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.题型二类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.题型三演绎推理【例3】(14分)已知函数f(x)=ax+bx,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.学后反思这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数定义，小前提分别是f(x)在(0,]上满足减函数的定义和f(x)在[,+∞)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.=(x1+x2)(x1-x2)+2(x2-x1)=(x1-x2)(x1+x2-2).∵x1＜x2≤1,∴x1+x2＜2,∴x1+x2-2＜0,∴(x1-x2)(x1+x2-2)＞0.则f(x2)-f(x1)＞0f(x2)＞f(x1),∴f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.错解分析错解错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.11.观察下列等式:①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.由上面两题的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.=-cos2α++cos2α-sin2α+=右边,故sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.第二节直接证明与间接证明步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法.②推证过程…….(4)分析法①定义:从问题的出发,追溯导致结论成立的条件,逐步,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法称为分析法.②推证过程……①——假设命题的不成立,即假定原结论的反面为真;②——从反设和出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;③——由矛盾结果,断定不真,从而肯定原结论成立.学后反思综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.题型二分析法的应用【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：I2＜4S.即证a2＜ab+ac,b2＜bc+ba,c2＜ca+cb,即a＜b+c,b＜a+c,c＜a+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故I2＜4S.证明：由sinα+cosα=1sin2α+cos2α+2sinα·cosα=1sinα·cosα=0.①欲证sin6α+cos6α=1,只需证(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)=1,即证sin4α+cos4α-sin2αcos2α=1,即证(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2α=1,即证sin2αcos2α=0.由①式知,上式成立，故原式成立.分析命题伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”“至多……”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.学后反思反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不可能有第三种情况出现.1