【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.1.1.1归纳推理学业分层测评苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】1232．经计算发现下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.【解析】∵eq\f(2＋18,2)＝10，eq\f(4.5＋15.5,2)＝10，eq\f(3＋\r(2)＋17－\r(2),2)＝10，∴不难得出，若a＋b＝20，eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10).【答案】若a＋b＝20，则eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10)3．观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…，照此规律，第n个等式可为________．【解析】12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2041，…，则72013的末两位数字为________.【导学号：01580032】【解析】因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2013＝4×503＋1，所以72013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.【答案】075．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f((f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f((f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f((f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.【解析】函数结果的分母中x项系数所组成的数列为1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.分母中常数项依次为2,4,8,16，…，其通项为2n.又函数中，分子都是x.∴当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,2n－1x＋2n).【答案】eq\f(x,2n－1x＋2n)6．(2016·青岛高二检测)容易计算2×5＝10,22×55＝1210，222×555＝123210，2222×5555＝12343210.根据此规律猜想22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为________．【解析】由已知可归纳出22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))＝123456789876543210，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898.【答案】8987．(2016·东北三校高二联考)某种平面分形图如图2­1­5所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的eq\f(1,3)的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．图2­1­5则n级分形图中共有________条线段．【解析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝3×2－3条线段，二级分形图中有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律得n级分