PAGE\*MERGEFORMAT5第3级下·基础班·学生版数论问题拓展———余数问题教学目标题题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点播题题一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0)，若有a÷b＝q…r，也就是a＝b×q＋r，0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：⑴当r＝0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商⑵当r≠0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理：1．余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。2．余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。3．同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(mod·m)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b(mod·m)，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|(a－b)三、已知除数和余数，求被除数的最小值(中国剩余定理)1．余数相同2．余数的补数相同3．均不同模块一：带余除法的定义和性质题题【例1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【例2】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【拓展】用8，9，12去除某个数，余数之和为26，求这几个余数。模块二：三大余数定理的应用【例3】求2461×135×6047÷11的余数。【巩固】(2007年实验中学考题)1＋2＋3＋4＋…＋2006＋2007除以7的余数是多少？【例4】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)22003与20032的和除以7的余数是_____。【巩固】求1×3×5×7×9×11×…×2001除以8的余数。【例5】一个大于1的数去除75，104，162所得的余数相同，求这个数是多少？【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_____。模块三：已知除数和余数，求被除数的最小值(中国剩余定理)【例6】一个大于2的自然数除以3，4，5的余数都是2，求这个数的最小值。【拓展】除2，3，4，5，6，7，8，9，10都余1的四位数有几个？【例7】一个自然数除以3余2，除以4余3，除以5余4，求这个数的最小值。【拓展】一个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，……除以9余8，除以10余9，求这个自然数的最小值。【例8】一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求这个数的最小值。【巩固】求在100～200中的连续三个自然数，最小的是3的倍数，中间的是5的倍数，最大的是7的倍数。测试题1．(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______。2．求的余数3．学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。请问学校共有多少个班？4．有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。