第二章习题211、试利用本节定义5后面得注(3)证明:若xn=a,则对任何自然数k,有xn+k=a、证:由,知,,当时,有取,有,,设时(此时)有由数列极限得定义得、2、试利用不等式说明:若xn=a,则∣xn∣=|a|、考察数列xn=(1)n,说明上述结论反之不成立、证:而于就是,即由数列极限得定义得考察数列,知不存在,而,,所以前面所证结论反之不成立。3、利用夹逼定理证明:(1)=0;(2)=0、证:(1)因为而且,,所以由夹逼定理,得、(2)因为,而且,所以,由夹逼定理得4、利用单调有界数列收敛准则证明下列数列得极限存在、(1)xn=,n=1,2,…;(2)x1=,xn+1＝,n=1,2,…、证:(1)略。(2)因为,不妨设,则故有对于任意正整数n,有,即数列有上界,又,而,,所以即,即数列就是单调递增数列。综上所述,数列就是单调递增有上界得数列,故其极限存在。习题221※、证明:f(x)=a得充要条件就是f(x)在x0处得左、右极限均存在且都等于a、证:先证充分性:即证若,则、由及知:,当时,有,当时,有。取,则当或时,有,而或就就是,于就是,当时,有,所以、再证必要性:即若,则,由知,,当时,有,由就就是或,于就是,当或时,有、所以综上所述,f(x)=a得充要条件就是f(x)在x0处得左、右极限均存在且都等于a、2、(1)利用极限得几何意义确定(x2+a),与;(2)设f(x)=,问常数a为何值时,f(x)存在、解:(1)因为x无限接近于0时,得值无限接近于a,故、当x从小于0得方向无限接近于0时,得值无限接近于0,故、(2)若存在,则,由(1)知,所以,当时,存在。3、利用极限得几何意义说明sinx不存在、解:因为当时,得值在1与1之间来回振摆动,即不无限接近某一定直线,亦即不以直线为渐近线,所以不存在。习题231、举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定就是无穷小量,也不一定就是无穷大量、解:例1:当时,都就是无穷小量,但由(当时,)不就是无穷大量,也不就是无穷小量。例2:当时,与都就是无穷大量,但不就是无穷大量,也不就是无穷小量。例3:当时,就是无穷小量,而就是无穷大量,但不就是无穷大量,也不就是无穷小量。2、判断下列命题就是否正确:(1)无穷小量与无穷小量得商一定就是无穷小量;(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量;(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量;(4)有限个无穷小量之与为无穷小量;(5)有限个无穷大量之与为无穷大量;(6)y=xsinx在(∞,+∞)内无界,但xsinx≠∞;(7)无穷大量得倒数都就是无穷小量;(8)无穷小量得倒数都就是无穷大量、解:(1)错误,如第1题例1;(2)正确,见教材§2、3定理3;(3)错误,例当时,为无穷大量,就是有界函数,不就是无穷大量;(4)正确,见教材§2、3定理2;(5)错误,例如当时,与都就是无穷大量,但它们之与不就是无穷大量;(6)正确,因为,正整数k,使,从而,即在内无界,又,无论多么大,总存在正整数k,使,使,即时,不无限增大,即;(7)正确,见教材§2、3定理5;(8)错误,只有非零得无穷小量得倒数才就是无穷大量。零就是无穷小量,但其倒数无意义。3、指出下列函数哪些就是该极限过程中得无穷小量,哪些就是该极限过程中得无穷大量、(1)f(x)=,x→2;(2)f(x)=lnx,x→0+,x→1,x→+∞;(3)f(x)=,x→0+,x→0;(4)f(x)=arctanx,x→+∞;(5)f(x)=sinx,x→∞;(6)f(x)=,x→∞、解:(1),即时,就是无穷小量,所以就是无穷小量,因而也就是无穷大量。(2)从得图像可以瞧出,,所以,当时,时,就是无穷大量;当时,就是无穷小量。(3)从得图可以瞧出,,所以,当时,就是无穷大量;当时,就是无穷小量。(4),当时,就是无穷小量。(5)当时,就是无穷小量,就是有界函数,就是无穷小量。(6)当时,就是无穷小量,就是有界变量,就是无穷小量。习题241、若f(x)存在,g(x)不存在,问［f(x)±g(x)］,［f(x)·g(x)］就是否存在,为什么?解:若f(x)存在,g(x)不存在,则(1)［f(x)±g(x)］不存在。因为若［f(x)±g(x)］存在,则由或以及极限得运算法则可得g(x),与题设矛盾。(2)［f(x)·g(x)］可能存在,也可能不存在,如:,,则,不存在,但［f(x)·g(x)］=存在。又如:,,则,不存在,而［f(x)·g(x)］