习题二1.列数列{x}当n→∞时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：n1x=3(−1)n;（1）x=(a>1);（2）nnan11（3）x=1g;（4）x=(−1)n(1+);nnnn11（5）x=3+(−1)n;（6）x=sec;nnnn111++⋯+1+3+5+⋯+(2n−1)2n−1（7）lim;（8）lim2.11n→∞2+4+6+⋯+2nn→∞1++⋯+2222(n−1)1解：1）收敛.因为当n→∞时,an→∞(a>1);所以x→0;所以limx=lim=0.nnx→∞x→∞an⎧3n为偶数⎪2)因为x=x=所以x是发散的;nn⎨1n⎪n为奇数⎩3113)发散的.因为当n→∞时,→0;所以x=1g→−∞;nnn⎧1n为偶数4)因为x=所以x是发散的;n⎨n⎩−1n为奇数115)收敛的.因为当n时,→0;所以x=3+(−1)n→3;即limx=3;→∞nnnnx→∞6)收敛的.当时,1;1;即;n→∞→0sec→1limxn=1nnx→∞n(1+2n−1)1+3+5⋯+(2n−1)n7)因为=2=;2+4+6+⋯+2nn(2+2n)1+n2n所以lim=1;x→∞1+n所以是收敛的;11−2n−11111++⋯+1−n−1318)因为22=2=111n−11++⋯+1−()n−121+22222(n−1)2211−22313所以lim=;x→∞21+2n−12所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.111解：数列为1,,,…,;2222n-11所以通项为a=;所以lima=0;nn2n−1x→∞3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）limxµ(µ>0);（2）limxµ(µ<0);x→0x→∞（3）limax(a>0,≠1);（4）limax(a>0,≠1);x→0x→∞（5）limlogx(a>0,≠1);（6）limarccosx;ax→1x→−1（7）limarctanx;（8）limcosx.x→1x→∞解：1）当x→0时,limxu(u>0)=0;x→∞12）limxu(u<0)=lim(u<0)=0;x→∞x→∞x−u3）limax(a>0,a≠1)=1x→∞4）0a<1;⎧0a<1.limax(a>0,a≠1)=⎨所以极限不存在x→∞⎩1a>1.1a>1;5)limlogax(a>0,a≠1)=0x→−16)limarccosx=π所以cosπ=−1;x→−1π7)limarctanx=.x→−148)limcosx的极限不存在x→∞4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：1x（1）f(x)=,x=0;（2）f(x)=3x,x=0;x1（3）f(x)=arctan,x=0;x⎧1⎪,x<1（4）f(x)=⎨1g(1+x),x=1.⎪⎩arcsin(x−1),1≤x≤2解：1)limf(x)=−1≠limf(x)=1;所以该点的极限不存在x→0−1x→0+2)limf(x)=0≠limf(x)=∞;所以该点的极限不存在x→0−1x→0+ππ3)limf(x)=-≠limf(x)=;所以该点的极限不存在x→0−12x→0+214)limf(x)=≠limf(x)=0;所以该点的极限不存在x→1−1g2x→1+5．用ε−δ或ε−N的方法陈述下列极限：（1）limf(x)=A;（2）limf(x)=A;x→a+x→a−（3）limf(x)=A;（4）limf(x)=A.x→+∞x→−∞解：1)当0<x−a<δ时f(x)−A<ξ2)当0<a-x<δ时f(x)−A<ξ3)当x>M时f(x)−A<ξ4)当x<-M时f(x)−A<ξ6．用极限的严格定义（即ε−δ或ε−N的方法）证明下列极限：15−n21（1）lim=0;（2）lim=−;n→∞4nn→∞3n2+13（3）limx+1=0;（4）lim10x=0.x→−1+x→−∞11解：1)对于任意给定的ξ,要使δψξ成立,只要使4n>即n>成立ξξ4111所以对于任意给定的ξ,存在N=当n>N时恒有−0<ξ成立,故lim=0ξ44nx→∞4n5−