高考数学_典型易错题会诊第页共NUMPAGES117页高考数学典型易错题会诊（下）命题角度3空间距离1．（典型例题）在空间中，与一个△ABC三边所在直线距离都相等的点的集合是（）A．一条直线B．两条直线C．三条直线D．四条直线[考场错解]设该点为P，且P在平面ABC上的射影为O，因为P到△ABC三边所在直线距离都相等，所以O到△ABC的三边直线的距离都相等，即O为△ABC的内心，所以本题中符合条件的点在过0且与平面ABC垂直的直线上，所以选A。[专家把脉]在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实际任意两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在直线等距离[对症下药]设该点为P，且P在平面ABC上的射影为O，因为P到△ABC三边所在直线距离都相等，所以O到△ABC的三边所在直线的距离都相等，即O为△ABC的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC垂直的直线上，这样的直线有4条，所以选D。2．（典型例题）如图10-15，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP。（1）求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）设O点在平面D1AP上的射影为H，求证：D1H⊥AP；（3）求点P到平面ABD1的距离。[考场错解]第（3）问：∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AB⊥面BCC1B1，∴BP⊥AB，∴BP即为P到平面ABD1的距离，在Rt△BCP中，BP=[专家把脉]线面垂直的判定有误，错解中BP⊥AB，但BP与平面ABD1不垂直，所以P到平面ABD1的距离不是BP。正解一：（1）如图10-16，连接BP，∵AB⊥平面BCC1B1，∴AP与平面BCC1B1所成的角就是∠APB。∵CC1=4CP，CC1=4，∴CP=1。在Rt△APB中，∠PCB为直角，BC=4，CP=1，故BP=在Rt△APB中，∠APB为直角，tan∠APB=∴∠APB=arctan.(2)连接A1C1，B1D1，∵A1B1C1D1为正方形，∴D1O⊥A1C1又AA1⊥底面A1B1C1D1，∴AA1⊥D1O，∴D1O⊥平面A1APC1，由于AP平面A1AOC1，∴D1O⊥AP。∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H，∴D1H⊥AP。（3）连接BC1，在平面BCC1B1中，过点P作PQ⊥BC1于点Q。∵AB⊥平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1，∴PQ⊥AB，∴PQ⊥平面ABC1D1，∴PQ就是P到平面ABD1的距离，在Rt△C1PQ中，∠C1QP=90°，∠PC1Q=45°，PC1=3，∴PQ=即点P到平面ABD1的距离为。正解二：（1）以、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间坐标系，∵AB⊥平面BCC1B1，∴AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB。∵CC1=4CP，CC1=4，∴CP=1，A（4，0，0）、P（0，4，1）。B（4，4，0）。∴=（4，-4，-1），∴cos∠APB=∴直线AP与平面BCC1B1所成的角为arccos;(2)连接D1O，由（1）有D1（0，0，4）、O（2，2，4），∴=（2，2，0），又因为D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H。∴D1H⊥AP；（3）由正方体的性质不难得出为平面ABD1的一个法向量，B1（4，4，4）、C（0，4，0）、P（0，4，1）∴=(-4,0,-4),=(-4,0,1),3．（典型例题）如图10-17，在三棱锥V—ABC中，底面△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，又V在底面ABC上的射影在线段AC上且靠近C点，且AC=4，VA=，VB与底面ABC成45°角。（1）求V到底面ABC的距离；（2）求二面角V—AB—C的大小。[考场错解]（1）过V作VD⊥AC，垂足为D，连接BD，由已知有VD⊥平面ABC，在直角三角形VBD中，∠VBD为直线VB与底面ABC所成的角，∠VBD=45°，BD=V到底面ABC的距离等于2。[专家把脉]BD与AC垂直是错误的，BD≠，错误的原因是缺少函数方程思想，VD直接计算在本题中做不到，而应设未知数，建立方程来求解。[对症下药]（1）如图10-18，在平面VAC中，过V作VD⊥AC于D，连接BD，由已知VD⊥平面ABC，∠VBD为VB与底面所成的角，∠VBD=45°，设CD=x,则在Rt△VAD中，VD2=VA2-AD2=14-（x-2）2=-x2+8x-2,在直角三角形VBD中，∠VDB=90°，∠VBD=45°，BD2=x2+8-4=x2-4x+8.在直角三角形VBD中，∠VDB=90°，∠