常微分方程复习一、微分方程的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例2y′=xy,′′+2y′?3y=ex,y(t+x)dt+xdx=0,?z=x+y,?x实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。例dx=x2dtd2ydy+b+cy=sinx2dxdxxdy?y2dx=0常微分方程?dx??2=3??xt?dt??2u?2u?2u+2+2=f(x,y,z)2?x?y?z2偏微分方程常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。dx=x2dtd2ydy+b+cy=sinx2dxdx?dx??2=3??xt?dt?2一阶二阶一阶线性方程、非线性方程若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。dx=x2dtd2ydy+b+cy=sinx2dxdx?dx??2=3??xt?dt?2一阶二阶线性线性一阶非线性齐方程、非齐次方程在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。自由项为零的方程，称为齐方程。自由项不为零的方程，称为非齐方程。dx=x2dt一阶齐线性方程d2ydy+b+cy=sinx2dxdx?dx??2=3??xt?dt?2二阶非齐线性方程一阶非齐非线性方程微分方程的一般表示形式n阶微分方程的一般形式为F(x,y′,y′′,L,y(n))=0。d2ydyF(x,y′,y′′)=+b+cy?sinx=0。2dxdx方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。如果n阶微分方程的解中含有n个相互独立的任意常数，则称此解为n阶微分方程的通解。一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用其它方法直接由方程解出。所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。例解验证函数y=cosax+sinax为微分方程的解：y′′+a2y=0(a≠0为常数)。y′=?asinax+acosax,y′′=?a2cosax?a2sinax=?a2(cosax+sinax),代入方程，得y′′+a2y=?a2(cosax+sinax)+a2(cosax+sinax)≡0,故函数y=cosax+sinax为此微分方程的解。微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。此时可求数值解初始条件（定解条件）由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。常微分方程称为初值问题（柯西问题）初始条件初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.?y′=f(x,y)一阶:?yx=x0=y0?过定点的积分曲线;?y′′=f(x,y,y′)二阶:?′yx=x0=y0,y′x=x0=y0?过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.例解设通过点M0(1,2)的平面曲线L上任意一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求此曲线L的方程.设曲线的方程为y=y(x)，则有dy(1)=2x.dx此外，函数y=y(x)应满足条件y(x)x=1=2，将(1)式两边关于x积分，得y=∫2xdx=x+C2微分方程(2)初始条件通解(3)将(2)代入(3)，得C=1,故所求的曲线方程为y=x2+1特解例解设通过点M0(1,2)的平面曲线L上任意一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求此曲线L的方程.设曲线的方程为y=y(x)，则有dy(1)=2x.dx此外，函数y=y(x)应满足条件y(x)x=1=2，(2)微分方程初始条件通解将(1)式两边关于x积分，得y=dxdy=∫2x∫2x=x=+x+CC22(3)将(2)代入有何想法？1,故所求的曲线方程为(3)，得C=y=x2=x2+1y+1特解介绍常微分方程的解法分离变量法常数变易法常微分方程的初等方法积分因子法变量代换法降阶法特征值法高阶线性常系数微分方程解法变量代换法二、计算题1、变量可分离方程dy=f(x)g(y)方程dxA）g(y)=0有特解和通解：B）g(y)≠0初值问题dy=∫f(x)dx+C时，∫g(