第六章平面问题-极坐标（1）极坐标中的平衡微分方程由，有：因为很微小，所以取，，并用代替，整理以上两式，得一、几何方程—位移与形变间的微分关系应力-应变利用高阶导数顺序无关性可导出如下协调方程为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：或写成重复以上运算可导出二阶导数公式将上式代入式得极坐标平面问题的应力函数解法的基本方程：（2）张量——例如应力，由第二章知识得：把上面两式中的和对应地换位，并把改为即得逆关系：应变分量具有类似的转换关系，但应注意，这里的和对应于工程剪应变。可以看到边界条件——考虑边界线不是坐标线的一般情况，设边界外法线方向为，见下图。在位移边界上给定如把边界上的面载荷按如图所示的应力正向（不是坐标正向）来分解，则力边界条件成§6-6轴对称问题协调方程代入上述欧拉方程后消去公因子得特征方程若出现共轭复根，则和虚部对应的是三角函数因子。如，当时，通解为对于重调和方程，确定特征根的简捷方法是依次对解作两次调和运算。但应注意，经过第一次调和运算后和项分别成和，可提出与有关的公因子。第二次调和运算则作用在(而非)上，对应于和项的系数应是和。按此规律可直接写出协调方程的特征方程本构方程代入几何方程,并积分可得位移分量。将(a)和(b)式代入几何方程第三式。注意到，并把的函数分别写在等式两边有：代入应力分量表达式表明，常数A，B，C与应力有关。对于环向闭合的圆域或环域，位移单值条件要求，因为上式中的的第一项与成正比，沿环向每绕行一周，就增加。应力分量简化为（a）式表明，一般说轴对称问题的位移是与有关的。如果限制原点的刚体位移，且考虑位移单值情况，则位移与无关。如进一步限制刚体转动，则只剩下径向位移：位移解法将式(e)代入式(f)，并考虑无体力情况，则用位移表示的平衡方程为考虑下图所示的厚壁圆筒。在内表面处受内压，在外表面处受外压，相应的边界的条件能自动满足。若把代入上式，可解出但是在平面应力问题中，而在平面应变问题中下面分别讨论内压力和外压力单独作用的情况。当时，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，这时上面的解答成为：注：拉梅公式适用于任意壁厚情况。例如带小圆孔的等向拉伸平板可简化为，壁厚很大的圆环（见图）。这时拉梅公式为再如对受内压的薄壁筒（柱壳）有：拉梅公式还可用来计算过盈配合问题。例2纯弯曲梁两个环向边界上的力边界条件是：求位移时，设梁两端中点固定，即在处。于是由轴对称位移分量定出积分常数：例如，考虑如图所示圆筒的装配应力。设圆筒半径为R，焊接前存在纵向缝隙，其对应的中心角为。焊接后应满足的位移连续条件代入（f）第二式得M，再代入（g）式就得装配应力。设无限大弹性体的应力表达式为：由此得：在接触面上，两者应具有相同的位移，即：联立方程（1）、（2）、（3）、（4）出、、、，代入应力分量的表达式，得圆筒受内压外部固定Mises应力截面图设有等厚度圆盘，绕其回转轴以匀角速度旋转。圆盘可以认为是在下面的体力作用下处于平衡状态，即在这里，由于圆盘只受回转轴的约束，而这种约束是轴对称的，所以它的弹性位移也是轴对称的。即：径向位移，而环向位移。于是几何方程简化为：其中和是任意常数。在圆盘的中心（），。最大弹性位移发生在圆盘的边缘（）：§6-7非轴对称问题目前，已经找到极坐标中应力函数的通解如下：其中与直角坐标中的线性项相应，在极坐标中应力函数允许差一个任意的项，而不影响应力，因而上面带虚线的项可以删除。是轴对称解，含因子的，仅存在于环向不闭合的楔形或扇形域中，其余项就是对展开的三角级数。例1小圆孔的应力集中考虑图所示的单位厚度矩形薄板的等值拉压情况。在离边界较远处有半径为的小圆孔。x方向受均匀拉力q，y方向受均匀压力q，即已知把（a）式代入转轴公式由上式第一式知与及有关，所以应力函数也按变化，应设为：应力分量利用边界条件（b）和（c）定出积分常数等值拉压无限大板中小圆孔附近的应力可以看到，在孔边处，当和时，的应力集中系数为，当和时，。例如则原问题转化为等向拉伸（或压缩）和等值拉压（x方向为，y方向为）两个问题之和。利用下面两式分别求得和引起的应力场，叠加后就是不等值拉（压）的解。设，则和同号。选x轴沿方向，则最大（绝对值）应力发生在孔边的A点处，其值为当（等值拉压）时最大，；当（等向拉伸或压缩）时最小，；其他情况为。（2）任意均匀应力状态。若除和外，板边还受均匀剪应力。可以先算出相应的主应力和，然后选主轴为参考坐标，则化为情况（1）。则应力集中系数为，其中是绝对值较大的主应力。（5）各种材料情况。适用于各种材料的平面应力或平面应变情况，例如也能用于山岩，坝体，土壤中的圆柱形孔洞。有限元模拟——孔边应力集中例2曲梁的一般弯曲即把（e）代回得：考虑