48数学通讯2001年第2,4期参数方程与极坐标问题韩苏(杭州师院数学系,浙江杭州310036)中图分类号:O122.2文献标识码:C文章编号:0488-7395(2001)2,4-0084-031参数方程代入(2),得25x2-36xy+13y2=4.参数方程是解析几何的重要内容.利用参数法这就是所求的轨迹方程.求轨迹方程,或者利用轨迹的参数方程来解题,有时合理选用参数,利用参数法求动点轨迹方程是会显得十分灵活和便利.一个十分有效的方法.例1(1989年全国高中数学联赛试题)若M例3(1993年全国高中数学联赛试题)实数t1+t22221={z|z=+i,t∈R,t≠-1,t≠0},N=x,y满足4x-5xy+4y=5,设s=x+y,则1+ttsmax1{z|z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)],t∈R,|t|+的值为.smin≤1},则N∩N中元素的个数为()θ22x=scos,(A)0.(B)1.(C)2.(D)4.解显然s=x+y>0,设y=ssinθ.tx=代入221+t4x-5xy+4y=5,解M中的点在曲线M:(t∈R,t1+t得θ8s-10y=sin2=,t5s8s-10≠-1,t≠0)上,N中的点在曲线N:于是≤1,5sx=2(1-t2)1010解之,得≤s≤.(t∈R,|t|≤1)上,曲线M和N133y=2t1010∴s=,s=.的普通方程是max3min13113138M:xy=1(x≠0,1),∴+=+=.smaxsmin10105N:x2+y2=2(0≤x≤2).例4有一定长线段l1于是曲线M和N的交点的横坐标满足x2+=2,(l≥1),其两端在抛物线yx22上移动试求即x=±1,故M∩N=ª,选(A).=x,:)此线段中点的轨例2考虑一端在直线y=x上,另一端在直线1P迹方程;y=2x上,而其长为4的一切线段,求这些线段中点2)距x轴最低点P之的轨迹方程.坐标.图1例4图解设连接A(a,a),B(b,2b)的线段之中点解1)如图1,设|PP|=l,我们选PP与P(x,y),则1212x轴的夹角θ为参数,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),a+ba+2bx=,y=(1)22222P(x,y),则y1=x1,y2=x2,且x2-x1=lcosθ,x2222(a-b)+(a-2b)=16(2)-x1=lsinθ.由(1)解得a=2(2x-y),b=2(y-x).收稿日期:2000-11-152001年第2,4期数学通讯581|AP|2=|OP|2+|OA|2-2|OP|·|OA|cosθx1=(tgθ-lcosθ),22于是可得=(1+cosθ)+4-2·2(1+cosθ)cosθ12x=(tgθ+lcosθ).=5-2cosθ-3cosθ22161216x1+x21=-3(cosθ+)≤.x==tgθ,22333从而有1当θ()时上式取等号,故AP的y1+y21=arccos-||y==(tg2θ+l2cos2θ).32416此即的轨迹(参数)方程最大值是.易知点A在曲线c上,当θ从0增P.312θ22θ1162)由于y=(tg+lcos)大到arccos(-)时,|AP|由0增大到.4331l2cos4θ-cos2θ+1=()162θ∴曲线c扫过的图形是以A为圆心,为4cos3221(lcosθ-1)16=[2+2l-1],半径的圆所围部分,它的面积是π.4cosθ3221x故当lcosθ-1=0,即cosθ=±时y有最小例7已知双曲线-la211y2值,ymin=(2l-1).此时,x=tgθ==1(b>a>0)的弦PQ42b21±l-1.所以距x轴最低点P的坐标为在中心O张直角,试求2S的最小值.11△OPQ(±l-1,(2l-1)).24解如图2,以双曲线图2例7图2极坐标问题中心O为极点,x轴正半轴解析几何就是用代数方法研究几何问题,建立为极轴建立坐标系,那么双曲线方程为坐标系是把几何问题转化为代数问题的第一步所ρ2cos2θρ2sin2θ,=1+.a2b2以合理地选择坐标系十分重要.例如,在极坐标系ππep设P(ρ,θ),Q(ρ,θ+),其中-<θ<中,圆维曲线便有统一的方程ρ=,它给解12221-ecosθ22π2ab决圆锥曲线中某些问题所带来的方便是不言自明.则|OP|=ρ1>0,ρ1=;2b2cos2θ-a2sin2θ的.因此,适当地选取极坐标系,有时对解题是很有222ab|OQ|=ρ2