知识改变命运百度提升自我用心爱心专心本文为自本人珍藏版权所有仅供参考构造函数证明不等式函数是高中数学的基础，是联系各个数学分支的桥梁和纽带.在不等式的证明中，我们可根据不等式的结构特点，建立起适当的函数模型，利用函数的单调性、凸性等性质，灵活、巧妙地证明不等式.二次函数型：作差构造法.例1.(新教材第二册（上）（以下同）习题1（2）)求证:分析:将视为变量,考察函数由于该二次函数的图象开口向上,且故结论获证.例2.(教材复习参考题6)设为的三条边,求证:＜.分析:构造函数∵图象开口向上,对称轴.∴在上单调递减.∵为的三条边,∴＜＜(不妨设)∴.∵∴即结论成立.判别式构造法.例3.(教材例1)已知都是实数,且求证:分析：所证结论即是故可构造函数由于当且仅当时取“=”号.又因为的图象开口向上,故必有结论成立.练习1.(教材练习2)求证:点拨:证法同例3.该题是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:可构造函数证之.练习2.(教材习题6)已知是不相等的两个正数,求证:点拨:构造函数证之.练习3.(教材习题7)已知都是正数,且,求证:点拨:构造函数证之.练习4.(教材复习参考题5)求证:点拨:构造函数证之.分式函数型:例4.(教材例2)已知都是正数,并且求证:分析:构造函数由于当时，故在上是增函数.∵在处右连续，∴在上是增函数.∵∴即例5.(教材例3)已知求证:分析:构造函数由于当时，故在上是增函数.∵在处右连续，在处左连续.∴在上是增函数.∵∴,即,即例6.(教材练习5)已知都是正数,且求证:分析:联想定比分点坐标公式,可写成故可构造函数∵当时，∴在上是增函数.∵在处右连续，∴在上是增函数.又∵∴而故原不等式成立.练习5.(教材练习4)已知求证:点拨:构造函数练习6.(教材习题9)已知的三边长分别是.且为正数.求证:点拨:构造函数易证为增函数.由于故即而故有练习7.(教材习题4)求证:分析:构造函数证之.幂函数型：例7.如果都是正数，且求证：分析：考察函数(nN*)在上的单调性，显然在上为增函数.若,则,,所以；若,则,,所以。所以利用函数的单调性证法可以将上述结论推广为:若a、b是正数且ab,求证：(m,nN*)一次函数型：例8.设求证:分析:构造函数∵∴对任意恒有故原不等式成立.三角函数型：例9.(同例3)分析:设则练习8.设且求证:点拨:设其中以下略.六、指数函数型:例10．已知等差数列和等比数列，其中，，＜＜，证明当时，<.分析:设数列的公差为数列的公比为由条件可得，即.所以，当时，＞这儿,我们用二项式定理进行放缩,完成了证明.七、构造函数,利用函数图象的凸性：例11.(教材例6)求证+<2分析:考察函数f(x)=的图象,特征是上凸函数.对任意且都有：<.537xyo所以,即（+）<.两条结论:（1）上凸函数，区间中点相同时，两端“距离”区间中点越近两端点的函数值之和越大.例:及(2)下凸函数,区间中点相同时,两端“距离”区间中点越近,两端点函数值之和越小.练习9.已知:,,若且,试判断与的大小，并加以证明（94年高考理科试题变式题）.练习10.已知:,若,试比较与的大小(94年高考文科试题).练习11.(教材习题5)求证:以上表明,若能清楚不等式所反映的图象意义，就会给证明提供思路.构造连续函数，应对含离散型变量的不等式问题：例12．（2001年全国理）已知是正整数，且﹤≤＜证明＜.证明＞.分析：（1）＜可化为：＜，即：＜.构造函数.（＞）.两边取对数，得：当时,两边求导，得：＞由于＞，故＞.这说明在上是增函数.∵在处右连续.∴在上是增函数.∵≤＜.∴＜.即＜.整理，得：＜.（2）不等式＞两边取对数，得：＞.整理，得：＞.构造函数.求导，得：.当时,可得：＜＜，＞.故＜.所以在上是减函数.∵在处右连续.∴在上是减函数.∵＜，∴＞.即＞.整理，得：＞.注：不等式＞也可化为：＞.这时，可研究函数的单调性证之.练习12.已知是正整数且≥.求证：＞.点拨：不等式＞两边取自然对数，整理得：＞.构造函数可证之.说明:根据所构造函数的结构特点,我们将函数转化为型或型,方便了对函数的求导运算.不等式证明的数学模型，除本文介绍的函数模型外，还可建立向量模型、解析几何模型、方程模型等，请读者自行研究、总结.作者简介:陈兵,男,1976年10月26日出生,山东省滕州市人,中教二级,学士学位.