微积分(BII）总结ｃhapter8多元函数微分学8、1多元函数得极限先瞧极限就是否存在(一个方向组(y=kx)或两个方向趋近于极限点(给定方向必须当x满足极限过程时，ｙ也满足极限过程)）。如果存在,能先求得先求,能用等价无穷小替换得就替换,最后考虑夹逼准则。8、2偏导数点导数定义(多用于分段函数得分界点)例:求，就就是求分段函数得点偏导数在连续,但偏导数不一定存在(如:锥）８、3全微分函数可微,则偏导数必存在(逆否命题可证明函数不可微,证明时,把右边前两项移到左边,瞧它就是不就是得高阶无穷小）例：对于某一点处得全微分,也可能要用到点导数。８、4多元复合函数求导8、4、1链式求导法则链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导,乘以中间变量对自变量求偏导。而所谓函数对第一中间变量求偏导就就是说另外把两个中间变量瞧做不变。小心:中间变量要带入,例：(在计算z对ｕ得偏导时,相当于把ｖ,t瞧做不变)这里得u,v要带入(第三行）,并且z就是具体得函数,所以在对中间变量求偏导数时,偏导数可以求出来8、4、２隐函数求偏导全微分性质得不变性例:①用全微分形式得不变性两边同时取全微分,相当于（－xy)为中间变量,求出全微分后,直接出偏导②想象ｚ＝z（x,y）即z就是复合函数,两边对x，y求导也能得出来（较慢)8、5隐函数求导公式8、5、1一个方程分母上得做函数,分子上得做一个自变量,对分子上得求偏导如:若求偏x,那就把方程瞧成z=z(x,ｙ)对z求导。注意,ｘ,yy独立,然而ｚ对ｘ,y求导不就是08、5、２方程组观察方程组,4个变量,两个等式,那么说有两个自由变量。让求，就就是把方程组瞧成u=u(x,y）,v＝ｖ(x,y),上下对ｙ求导。(把分母上得变量瞧做函数)8、6空间曲线得几何应用8、６、1空间曲线得切线与法平面特殊地，无论方程如何给出,弄出对x或对t得导数十分关键。注意,在某点处得切线方程在瞧方向向量时要把那个点带入8、６、2曲面得切平面与法线,特殊地8、6、3方向导数与梯度即梯度与所给方向ｌ得方向向量得点积记住,如果求某一点得方向导数,要求得两个偏导数就就是点偏导数如果用此公式，需要z有一阶连续偏导数。当ｌ得方向与梯度得方向一致时,方向导数得值最大,为梯度得摸8、７多元函数得极值8、７、1多元函数极值极值取在驻点处，或者在不可微得点处如果出现(3）得情况,需要回归定义,8、7、2多元函数最值加上定义域边界上得值,与函数得极值比较对于定义域无界得情况,要考虑x,y逼近于无穷8、７、3拉格朗日乘数法（条件极值）构造方程,其中(x,y）为驻点记住:相当于构造,每一个方程就就是对每个自变量求导,然后再加上约束条件(也就就是对lambｄa求偏导)。求导时,一定要对也求偏导。至于这里得驻点如何为极值点，需要人为验证(回归定义）如何解方程:对于只有一个约束条件得方程前几个不带约束条件得方程对称性很好,因此先通过第一个方程解出lamｂda,然后带入后面几个方程(不包含带有约束条件得方程）,可以解出ｘ,ｙ,z得关系（一般就是比例关系)。可以把ｙ与z都用x表示。然后带入含有约束条件得方程。（稳赚不赔得傻瓜解法)对于由两个约束条件得方程,可以通过前面（不包含约束条件得)方程解出lambda1与2得关系，然后削去其中一个,然后再按只有一个约束条件处理。(但这样得问题更需要具体分析)chapter９重积分９、１二重积分判断二重积分得符号:如果被积函数在D中处处小于0，那么积分值小于0二重积分相当于求平面片得质量,而被积函数相当于某一点处得密度。这样,根据被积函数得对称性与积分区域得对称性很容易理解二重积分得对称性。如果被积函数为1,相当于求平面片得面积。(直角坐标)极坐标9、2二重积分得应用9、2、1求曲面得面积如果可以投影到xoy面，即可以有函数z=z（x,y)如果偏导数不好求，直接求法向量,直接求方向角带入第一个等式即可。其她面同理,求曲面面积时,一定要把曲面所在得卦限想全。如下图,曲面在一二五六卦限都有。如果只就是用上面公式向xｏｙ投影，就只能得出一半得答案。这两个面围成得曲面并不就是ｚ得函数,分成上下两片每一片才就是z得函数,这就就是错误得原因。对于用参数方程表示得区域得二重积分先设ｙ对于x得函数为ｙ(x）,把二重积分用直角坐标表示出来。把二重积分化为定积分后,再用二重积分换元法,换成t,记住,换元必换限。９、2、2转动惯量９、３三重积分解三重积分考虑几个问题:直角坐标、柱面坐标、球坐标?通过积分区域与被积函数选择直角坐标:Steｐ1：先一后二还就是先二