微積分講義第1章微分1.0微積分簡介微積分，可以說是從事各種理工研究的數學基礎。依我的觀點來看，只要具備基本的「函數」與「極限」觀念，便可以了解微積分的原理和運算。雖然現在的學生在高中階段並不會接觸微積分，但是要了解微積分其實一點也不難！微積分的奠基者是牛頓(Newton1643-1717)和萊布尼茲(Leibniz1646-1716)。原先使用不同的名稱，後來將微分(differentiation)與積分(integration)合起來稱為微積分(calculus)。calculus在拉丁語原意是小石子，古代歐洲用小石子來計算，所以calculus也可以以看成計算的科學，不過現在已經變成學門名稱了。微積分的學理，經過二十多年無數數學家的耕耘，最後由牛頓與萊布尼茲集其大成，做出比較有系統的總結。他們最大的功勞是將兩個貌似不相關的問題聯繫起來：一個是切線問題(微分)，一個是求面積、體積、功…等物理量的問題(積分的中心問題)。用微積分基本定理，建立了兩者之間的橋樑。微積分的出現是人類歷史的一件大事，深深影響了現代科技的發展。微積分的出現，固然是牛頓與萊布尼茲總結前人的工作而成的盛業，但他們是各自獨立完成。但在時間上萊布尼茲約早三年公布(牛頓早十年開始)，因此也引發了誰是優先發明的爭議。這裡就不再多談這之中的軼聞囉。1.1極限(Limit)讓我們來看一個有趣的例子。如何去計算下面這個「碎形」三角形的面積呢？由於它的結構是不斷地擦掉中央四分之一處，所以我們可以將面積A表示成：這是最基本的極限表示法，lim為limit的縮寫。下方則「為n趨近於無限大」。也就是說考慮四分之三連乘無限多次後的結果。當然，在這個例子中很明顯的A最後會趨近於0(相信大家應該都已經發現了吧？)。1.2平均斜率和切線斜率◎定義1.2.1：存在一個在定義域中連續的函數，在x1、x2之間的「平均斜率」為◎定義1.2.2：存在一個在定義域中連續的函數，利用取極限的概念，我們將x1、x2之間的距離取極限逼近於零，得到的就是逼近到一個點(在這邊是x1)時，該點的「切線斜率」。表示為這邊大家可以先想想，什麼樣的情況下，這種切線斜率會不存在？以前所學過的斜率定義，跟這邊有什麼不一樣嗎？為什麼要強調函數的「連續性」？1.3連續性(Continuity)一個函數連續與否，影響到這個函數是否存在切線斜率，也影響到函數的可微分性(即是否存在「導函數」，derivative)。最簡單的想法，函數圖形在某「區間」(interval)若沒有「斷掉」，則在此區間該函數為連續。當然，我們也可以考慮函數在「某特定點」上的連續性。◎定義1.3.1：函數在x=a若存在「左極限」和「右極限」，且兩者都等於f(a)，則f(x)在x=a處連續。可以表示為左右極限的定義，就是從不同的方向逼近a點，很簡單吧？在這裡先想想，若是a點該處的函數值不是f(a)，會發生什麼樣的情形呢？(或是該點沒有定義的話？)◎定理1.3.2：合成函數的極限。假設z=f(y)；y=g(x)皆為連續函數，即若g(a)=b，則▲NOTE：判斷函數連續與否是決定可不可以微分的第一步，切記。▲NOTE：連續的函數不一定有切線斜率。(Whynot？)1.4導數(Derivative，導函數)◎定義1.2.2提到了切線斜率的定義，若我們考慮一個點x=a上的切線斜率，是不是有兩種逼近的方向呢？從左邊逼近a和從右邊逼近a都符合切線斜率的意義啊！但是…它們一定會相等嗎？◎習題1.4.1：考慮一函數，畫出圖形並討論連續性、在原點的切線斜率。◎定義1.4.2：在x=a的右導數，就是從右邊逼近的切線斜率。表示為◎定義1.4.3：在x=a的左導數，就是從左邊逼近的切線斜率。表示為一個函數可以連續但是不可取導數(就是沒有切線斜率)，為什麼？當左導數不等於右導數時，會發生什麼樣的情形？習題1.4.1的情形是否能解決你的疑惑？所以，導函數存在，必須左導數等於右導數。NOTE：判斷導數存不存在，是決定函數可不可微分的第二步。NOTE：在x=a處左導數等於右導數時，導數可寫為或。兩種表示法都很常見。若在定義域上導數皆存在，可以表示為或。這也是對某函數「微分」(differentiate)的意思。1.5可微性(Differentiability)◎定義1.5.1：若一個函數在x=a處附近，存在實數A符合以下條件(參Fig1.5.1)，則稱之為可微(differentiable)。Fig1.5.1◎定理1.5.2：若函數符合定義1.5.1的規範，則A必定唯一。證明：若有另一個實數B存