第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性第三章线性控制系统的能控性和能观性3-3-1判断下列系统的状态能控性。01010101（1）A,B（2）A001,B011002431110003101110001（3）A030,B00（4）A1,B000100120100011【解】：(1)11UBAB,rankUn2，所以系统完全能控。c01c(2)1001UBABA2B0111c1117前三列已经可使rankUn3，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。c（3）A为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。（4）A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。可以求一下能控判别阵。0123211123UBABA2BA3B111,rankU2，所以系统不完全能控。c123c1111231113-3-2判断下列系统的输出能控性。44第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性310110100x030x00ux001x0u(1)00120(2)61161101yxy100x110【解】：（1）3101110100已知A030,B00，C，D11000001200031DCBCABCA2B0011前两列已经使rankDCBCABCA2Bm2，所以系统输出能控。（2）系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C满秩，且输出维数m小于状态维数n，所以状态能控则输出必然能控。2-3-3判断下列系统的能观性。010x001x11xx(1)243；(2)10；011y11xyx121210400x020xx040x(3)；（4）003001y011xy114x【解】：（1）010011已知A001,C12124345第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性011121C244VCA0CA2前三行已使rankVn3，0所以系统完全能观（后续元素不必计算）。（2）11A,C1110C11V,rankVn20CA210所以系统完全能观。（3）状态空间表达式为约旦标准型，且C阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。（4）状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。也可求C114VCA444,V0,rankV2000CA216164所以系统不完全能观。3-3-4设系统状态方程为xAxBu，若x、x是系统的能控状态，试证状态xx1212也是能控的（其中α、β为任意常数）。【解】：设：yCxx因为，状态x和x能控，所以至少有12rankBABAn1B2。而由系统输出能控的判别阵得：rankCBCABCA2Brank(CBABAn1B)1，（C阵又满秩）。所以yCxx一定是能控的。46第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性3-3-5设