会计学如：燃料最优控制：若采用经典变分法：一、<定理>极小值原理：[时变系统]3、与2、最优控制三、几种边界条件得讨论：由横截条件:由x(0)=5代入,得例2:解得:五、极小值原理中哈密顿函数H的性质讨论2、对于时变系统：第四节最小值原理在实际中的应用一、时间最优控制问题1、问题提出（时变系统）已知受控系统并设f和B对X(t)和t连续可微。应用最小值原理进行问题的求解则有：j=1，2…r最优控制u*(t)是使为极小，则：我们仅研究正常情况u*(t)写成符号函数sgn{}形式则j=1，2…r向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}=-sgn{}⑷求最优控制u*(t)3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法：⑵问题的求解代入得：⑶开关次数定理：设线性系统是正常的（不存在非奇异问题），若矩阵A的特征值均为实数，假定时间最优控制存在，并令其为则u*(t)的切换次数最多不超过（n-1）次，n为系统的维数。解：对象为二阶线性系统[双积分模型的时间最优控制]（应用最普通最广泛的一种）由由若u=-1，则显然：若初始状态在NO或在PO上，可进一步转移到目标原点，称NOP为开关曲线因此，问题的解为:①先以u=-1控制到达Po曲线上的B点②以u=+1沿开关曲线Po到达原点从初始状态到达末端状态的轨迹为AQBO，即u*=进而，可求出转移时间ts及最优时间把状态轨线控制序列分成若干段，逐步算出所需时间，最后相加。求及ts在AQB段,u=-1,BO段：u=+1，例题分析2：二阶积分系统的最小时间控制系统⑶确定控制序列：显然，由⑵知，为一条直线，其形式有可能为4种⑷状态轨线：由⑶知，u有4种可能的取值，其值为±1，代入状态方程：利用上式，消去中间变量t，可导出x1和x2的关系为：⑸确定开关曲线：使系统状态直接回到末端状态的曲线AO和BO总的开关曲线：AOB显然：⑹确定最优控制作用u*u*与初始状态有关例3：升降机的快速降落问题：设有一升降机W，它的质量为1，升降机一方面受重力g的作用，另一方面受控制器的作用力u(t)的作用，且（M＞g是常数）设x(t)为升降机离开地面的距离，当t=时，[离地面距离][垂直运动速度]解：建立升降机系统的数学模型，F=ma即：协状态方程：即：常数设u=-M，同理可得：如图虚线所示〈ⅱ〉当在曲线上时，状态沿回原点〈ⅲ〉当时，沿相应的虚线抛物线运动到时，沿回到原点。对于实际问题升降机的分析：它在地面之上，∴，处于相平面的右半部分，且设从上例可以看出：快速最优控制有如下特点：<ⅰ>u*要么最大，要么最小。<ⅱ>u*的取值经过有限的（n-1）次（可为最多次）数切换可到达平衡点。<ⅲ>u*的取值仅在开管曲线上切换。二、燃料最优控制问题1、数学描述[以二阶级分模型的燃料最优控制为例]正常：仅在有限个点上奇异：至少在一段时间[t1，t2]间隔内由：和的计标以下两个图形画出了不同初始状态转移轨线在ｔ＝ｔｂ处应满足：习题１：设系统为当t=ts时在B点应有：习题2分析：设线性状态方程为：边界条件：当u*=+1时，箭头方向：以u=+1为例，当X2>1时，∴X1↑，X2↓当X2<1时，X1↓，X2↓所以箭头如图由于时间持续不超过，故改圆弧的长度最多等于半圆，到达A’点，发上第二段转换进而进入倒数第三段。极小值原理的证明：边界条件:下面分析开关曲线：显然，只有c=1及由于A点可为开关曲线r将相平等分为两部分所以总的控制作用：习题：已知线性定常系状态方程：注：在时间最优控制中，我们知道：<定义1>若在区间[<问题1>：已知线性时不变系统，从上述必要条件出发，可得一些有用的结论：由此：<定理2>：当且仅当另外，我们知道，一个完全能控的线性定常系统：<问题>已知线性定常系统：根据极小值原理，注意：在燃料最优控制中，区分正常情况与时间最优控制不同。首先：1）试证明系统由初态：2、二阶空间控制系统的状态方程为：解：求解最优解的必要条件：具体分析：因为有状态方程知：是一组不通过原点的平行线或轴上的孤立点分析：设若采用的控制方式为：若选用={-1,0}则系统在u=-1作用下，将状态转移到初态若不考虑转移时间,则作业１：设二阶系统方程：其中。试确定将系统由已知初态最快地转移到的最优控制函数作业３：给定二阶系统控制约束：试确定使系统由已知初态最快地转移到坐标原点的最优控制作业６：系统状态方程求时间最优控制函数，使系统由转移到终端状态，并求开关曲线，绘出图形。