1.3.1函数的单调性与导数[学习目标]1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.知识点二利用导数求函数的单调区间1利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求出函数的导数f′(x).(3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间.知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.如图，函数y＝f(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(－∞，a)和(b，＋∞)内的图象“平缓”.题型一利用导数确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间.(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2·e－x；1(3)f(x)＝x＋x.2解(1)函数的定义域为D＝(0，＋∞).∵f′(x)＝6x－x，令f′(x)＝0，得33x1＝3，x2＝－3(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：333x0，，＋∞(3)3(3)2f′(x)－0＋f(x)330，，＋∞∴函数f(x)的单调递减区间为(3)，单调递增区间为(3).(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞).∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′－x2－x－x2－x＝2xe－xe＝e(2x－x)，令f′(x)＝0，由于e＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f′(x)∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2).(3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞).1∵f′(x)＝1－x2，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“∪”.跟踪训练1求函数f(x)＝x3－3x的单调区间.解f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).3当f′(x)＞0时，x＜－1或x＞1，此时函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0时，－1＜x＜1，此时函数f(x)单调递减.∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间是(－1,1).题型二利用导数确定函数的大致图象例2画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象.解f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2).由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞).由f′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f(x)的递减区间是(－2,3).由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象.跟踪训练2已知导函数f′(x)的下列信息：当2＜x＜3时，f