构建模型求解函数应用问题构建模型求解函数应用问题求解函数一．构建二次函数模型求解的应用问题.构建二次函数模型求解的应用问题.例1.某自来水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注水60吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水为1206t,吨（0≤t≤24）.⑴问多少小时后蓄水池中的水量最少.⑵若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问每天有几小时出现这种现象.1.简析：探求变量之间的关系，换元化归为二次函数区间上问题和二次不等式解法求解.⑴设t小时后蓄水池水量为y吨,则y=400+60t-120226t(0≤t≤24).换元法令x=6t,则y=400+10x-120x=10(x-6)+40,当x=6,即t=6时，有最小值40吨.供水6小时，y水池中水最少为40吨.⑵由400+10x-120x<80，解得0〈x<4,即0〈6t<4,解得<t<28332,故每天有8小时供水紧张.3的常数)区间上的单调性”求解的应用问题.二．构建对号函数“au+(a,b∈R的常数)区间上的单调性”求解的应用问题.构建对号函数“例2(高考)甲乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c(千米/小时)，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v的平方成正比，其系数为b，固定部分为a元，为了使全程运输成本最低，汽车应以多大速度行驶？2.简析：探求变量之间的关系，目标函数易求运输成本：y=s(bua+bv),v∈(0,c),化为f(v)=sv(?aaa?+bv)在(0,c)上的最小值，借助不等式取等号条件猜出分界点，定义法易证f(v)在?0,?上?vbb???a?。,+∞?上递增（也可用导数法研究）讨论c和a的大小，分两类研究.当c≤a?bbb??递减，在?时,f(v)min=f(c),此时v=c；当c≥a时,f(v)min=f(a)，此时v=bba.b例3.在某种产品的制造过程中，次品率p依赖于日产量x，已知p=1(x>100),p=1(0<x≤100).101?x其中x为正整数，又该厂每生产一件正品可盈利A元，但每生产一件次品就要损失A/3元，为了获得最大盈利，该厂日产量应为多少个？3.简析：探求变量之间的关系，建模化归对号函数区间上的单调性解决.设日产量为x，次品数为xp，正品数为x-xp，则日盈利y=A(x-xp)-1Ap(0<x≤100,x∈N).当x≥100时,p=1,产品全为次品，工厂不3盈利，不和题意，故p只能取44041，于是，y=A〔101+?(101?x+〕.问题化为101?x33(101?x)1f(x)=(101-x)+404在（0，100）内且x∈N的最小值.换元令u=101-x,u∈(1,101),且u∈N,而3(101?x)f(x)=u+404=g(u)在(1,101),且u∈N，利用不等式取等号条件易猜出分界点u=11.6,定义法易证3u??404??3??f(x)=g(u)在?0,?上是减函数，在?404,+∞?上是增函数（也可用导数法研究）,又u∈N，故只须算?????3?209767g(12),g(11)，即只须算f(89)=<f(90)=.故日产量为89个时可获得最大盈利.933构建分段函数模型求解的应用问题.三．构建分段函数模型求解的应用问题.例4.某影院共有1000个座位，票价不分等次.根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出.为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，符合的基本条件是：⑴为方便在零和算帐，票价定为1元的整数倍；⑵影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出.试问在符合条件下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？4简析：阅读理解的基础上，构建分段函数的模型求解.当x≤10时，净收入y=1000x?5750>0，且x∈N，则6≤x≤10时，y=1000x?5750；当x>10时，净收入y=[1000?30(x?10)]x?5750>0，解得5.75<x<130+1302?12×575130+10000，又x∈N,则6≤x≤38x∈N时，y=?30x2=1300x?5750.=66两段下易求，x=10时，净收入最大值为4250元，x=22时，净收入最大值为8330元.故每张票价定为22元时净收入最多.例5在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d正比例于车速v（千米/小时）的平方和车身长的积（米），