内容索引课标解读强基础增分策略知识梳理1.空间向量的有关概念微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.微思考“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?2.空间向量中的有关定理微点拨(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.微思考基向量和基一样吗?0是否能作为基向量?3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角①已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>.微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决常用结论(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:(2)证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面:对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.()(2)空间中任意两非零向量a,b共面.()(3)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.()(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()2.若{a,b,c}构成空间的一组基,则下列向量不共面的是()A.b+c,b,b-cB.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,cD.a+b,a+b+c,c3.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直增素能精准突破名师点析空间向量线性运算中的三个关键点答案A答案(1)B名师点析向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键对点训练2(1)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若向量a,b,c共面,则实数λ等于()答案(1)D(2)-3答案C方法总结空间向量的数量运算的两条途径考向2.利用数量积求长度与夹角典例突破方法总结利用数量积求长度与夹角的一般方法对点训练4(1)(2021浙江镇海中学模拟)已知空间三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量的夹角为60°,则实数m=()A.1B.2C.-1D.-2(2)如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是.考向3.解决垂直问题典例突破例5.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()答案D名师点析将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.对点训练5(2021河北曹妃甸一中模拟)空间向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),如果a⊥b,则|b|=.