PAGE-7-核心素养测评四十八空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若α∥β,则k=()A.2B.4C.-2D.-4【解析】选B.因为α∥β,所以两个平面的法向量也平行,所以=,即k=4.2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足||=||,则P点坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(0,0,-3)【解析】选C.设P(0,0,z),则有=,解得z=3.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角θ为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0,所以2|a||b|cosθ+|b|2=0,又因为|a|=|b|≠0,所以cosθ=-,所以θ=120°.4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是()A.=2-2-B.=++C.+=3-D.+=4+【解析】选C.C项可变形为=++,因为++=1,所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.5.在空间四边形ABCD中,·+·+·=()A.-1B.0C.1D.不确定【解析】选B.如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,所以·=0,·=0,·=0.所以·+·+·=0.6.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4D.8【解析】选B.设向量a和b的夹角是θ,则由空间向量的数量积公式和题意得cosθ===,所以sinθ==,所以以a和b为邻边的平行四边形的面积为S=2××|a|×|b|×=.7.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是()A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)【解析】选B.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为x,y,z.则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,①因为p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),所以p=4a+2b+3c,②由①②得所以即p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________________.【解析】因为a∥b,所以==,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)9.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________________.【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E1,1,.所以=(0,0,a),=-1,1,.由cos<,>=,所以=a·,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).答案:(1,1,1)10.如图,已知在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长为________________.【解析】设=a,=b,=c,由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,<a,b>=90°,<b,c>=90°,<a,c>=60°,||2=|++|2=|-c+b+a|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=68,则||=2.答案:2cm(15分钟35分)1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于()A.B.3C.3D.2【解析】选B.-+=-(-)==3.2