中国科学数学年第卜卷卜第期《中国科学》杂志社离散外微分与计算电磁学谢正①,马玉杰②叶征③,①浙江大学数学中心,杭州②中国科学院数学机械化中心,北京③浙江大学计算机学院,杭州一滋￡,￡￡,￡收稿日期一一接受日期一一通信作者国家自然科学琴金批准一号资助项日摘要计算电磁学的核心之一是数值求解方程组适当的离散方式是保证结果能真实反映物理现象的关键为了在离散的过程中保持该方程组的几何性质,我们建立了基于棱柱网格的系数为的格点规范理论,其离散曲率满足相应的恒等式通过适当定义离散微分形式之间的内积和棱柱网格上的星算子,我们由离散变分导出源方程和连续性方程,和恒等式一起称为真空中的离散关键词计算电磁学主题分类方程组这组方程是内蕴的,并具有规范不变性离散外微分,格点规范,,方程组引言计算电磁学的核心之一是数值求解其写为一,方程组该方程组具有儿何意义,可以用微分形式将占一工其中流是底为形式关于维时空的主从的曲率形式,占分别为外微分算子和余微分算子为电方程的求解己有许多重要的工作‘一格式不是高精度算法,但是它保持了的工作推广到年,‘引入了对时间区域的有限差分格式,称之为被广泛使用尽管微分方法中的一将格式这个非常实用的格式在现代计算电磁学,特别是求解微波问题领域,方程的许多重要的结构性质,由年,等人用离散外于许多方法不具备这一特点所以人们仍然在许多领域中采用该格式方程的多辛结构本文中,我们用离散外微分方法将格式推广到空间为流形的情形维平直时空的非结构化网格情况,他们导出的格式保持了真空。于棱柱网格的系数为基的格点规范理论其离散联络为一个从离散微分形式到的映射对离散联络作离散外微分后所得的形式称为离散曲率这个曲率的恒等式为离散方程组的子集这些结论可以推广到矩形、角形和任意正多边形组成的非平坦网格上三?于有源情形,我们适当的定义了离散微分形式之间的内积和对泛函,通过离散变分求得源方程和连续性方程,和恒等式一起称为离散方程组这些方程具有多辛性质和规范不变性,其规范群为引用格式,,,这组方程不依赖于整体坐标,只依赖于单形的边民和角度,一谢谁等离散外微分与计算电磁学本文中的方法在大线上的应用参看文献精度、差分析等参看文献误本文中提出的离散格式的广义情形、定性、稳条川预备知识棱柱网格棱柱网格和单纯复形类似,但是它不仅仅有单形还有棱柱令一抓冰‘一一习械…为标准的尹单形,,是重心坐标棱柱是单形的乘积△。。二一△。…△二对于一般的弯曲时空而言,我们不能确保重心在单形里如果时空能分解为个茵都是锐角三角形离散外微分维流形和时间的直积,则此空间可以用棱柱网格来离散化,并且满足底空间可以有四茵体网格来离散化,其中每对于紧致的光滑流形,可以用局部可定向的单形离散化,离散外微分将定义在这个离散化的复形上为了保证数值模拟的准确性,我们要求每个三角形是锐角的离散微分人形式,无任,为无单形上的赋值函数对偶形式,也就是说,为对偶网格上的赋值函数而对偶网格的儿何实现要用到单形的重心对偶顶点一卜定义我们使用的对偶单形这里要求茵重心在单形内对偶边是链接对偶顶点过该茵边中点的折线段,线段将穿越两个相应的四茵体三角形共有的茵边的外心中点对偶茵为边顶点在每个相邻的三角形中的单形拼成的折茵这些离散微分形式是离散外微分?离散外微分算子?星算子离散的和的基本对象基于这些对象可以定义下茵的两个算子形式尹汰重载定义,这个算子是无形式映到无重载定义,这个算子将主原来的单形映射到对偶单形算子都可以用和表示,一,△一一尹‘棱柱网格上的格点规范理论棱柱网格上的令盯为维流形的四茵体网格剖分考虑棱柱网格盯△。△。,,。,。,。△。,。,。,。,△,。。该网格上的单形构造如下△△。…,△。,。,。,,。。星算子现在我们来定义棱柱网格上的离散外微分算子算子的定义如一卜重载定义星算子重载定义和棱柱网格复形上边缘算子的定义是己知的算子定义为边缘算子的转置令几。,,。任几。,,。△为棱柱网格上的离散微分形式,,算子。。。、中国科学数学第卷第期几。,,。。、一△几。,,。△。、几几。,,。八几。、几岁△。,,无△△。。卫。,一二几。一二弓先兰已少△凸川,。,△为△的度量,△。,,为△。,,其中等式的右边的,算子是的度量离散联络与曲率维网格上的算子对电磁场而言,通常的规范群是棱柱空间为底,纤维为离散规范场或者联络州,但是我们可以选用它的代数现在我们来定义以的离散向量从的联络和