《现代通信系统》—相关理论与新技术第三章网络的时延模型（2）（排队系统）M/G/11CESLofDept.EEIS2006.23.4M/G/1排队系统(非Markov型)该系统的基本假设是：¾系统的输入过程是参数为λ的泊松过程¾服务时间为一般性的独立同分布随机变量序列¾服务时间与到达间隔相互独立，只有一个服务员¾第i个用户的服务时间为Xi令X={X1,X2,"}，则平均服务时间X=E{X}=1/µ22服务时间的二阶矩X=E{X}222服务时间的方差D{X}=σ=X−(1/µ)2P-K(Pollaczek-Khinchin)公式¾M/G/1排队系统的稳态平均参量λX2W=平均等待时间:2(1−ρ)（3-75）λX2T=X+W=X+系统的平均时延：2(1−ρ)λ2X2N=λW=平均排队队列长度：Q2(1−ρ)λ2X2N=λT=λX+系统中的平均用户数：2(1−ρ)ρ=λ/µ=λX式中，。3两种特例1）若G=M(负指数分布)，则有X2=2/µ2，由式(3-75)ρW=µ(1−ρ)（即为M/M/1系统的结果）222）若服务时间是常量，即X=1/µ,X=1/µ，则有ρW=2µ(1−ρ)（3-80）上式即为M/D/1系统的结果，可见M/D/1系统的平均等待时间是M/M/1系统的一半。（在均值相同的分布中，确定性分布的X2最小，因此，M/D/1系统的参数是M/G/1系统相应参数的下限。4P-K公式的证明基于平均剩余服务时间(MeanResidualServiceTime)求解设第i个用户到达系统时，第l个用户正在接受服务，RN其剩余服务时间为i，此时等待队列中有i个用户5P-K公式的证明(续1)设第k个用户的服务时间为Xk，则由图3-7可知，用户i的等待时间为i−1Wi=Ri+Ni个用户的服务时间=Ri+∑Xkk=i−Ni对上式求平均i−1Wi=E{Ri}+E∑Xk=E{Ri}+X⋅E{Ni}k=i−NiXNW=limWi式中,k和i均为随机变量。令i→∞,i→∞，有611W=R+XN=R+N=R+λW=R+ρWQµQµR=limE{Ri},NQ=E{Ni},ρ=λ/µ式中，i→∞RW=整理上式得1−ρ（3-83b）7P-K公式的证明(续2)假定系统有稳态解，且具有各态历经性，则剩余服务时间r(τ)可用图3-8来表示。为方便起见，取t为r(t)=0的时刻，则［0,t］区间的平均剩余服务时间为M(t)1t11R=r(τ)dτ=X2t∫0∑itti=12式中，M(t)表示［0,t］区间内已服务的用户数。M(t)X21M(t)∑iR=⋅⋅i=1上式可以写成t2tM(t)X式中，第二项为平均到达率，第三项为i的二阶矩。8P-K公式的证明(续3)令t→∞，得1R=λX22将上式代入（3-83b）得P-K公式RλX2W==1−ρ2(1−ρ)P-K公式可以看出M/G/1队列的一个重要特征：W∝X2。ρ<12（即使，如果X→∞，则W→∞）一旦有少量用户服务时间很长时，排队队列会很长。9返回n-ARQ系统的时延分析(例3.7)¾返回n-ARQ系统：分组(顾客)到达率为λ(Poisson)¾分组长度相同(1个单位)¾等待重传的最长间隔为(n-1)个单位10返回n-ARQ系统的时延分析(续1)¾可用M/G/1模型进行分析•服务时间包括一次传输时间和重传时间，服从G分布•假定分组传输错误概率为p，正确概率(1−p)k•重传次数为k，等效服务时间为1+kn，概率为(1−p)p•等效服务时间Xk的概率分布为kP(Xk=1+kn)=(1−p)p∞knp一阶矩：X=∑(1+kn)(1−p)p=1+k=01−p∞2npn2(p+p2)X2=(1+kn)2(1−p)pk=1++二阶矩：∑2k=01−p(1−p)11返回n-ARQ系统的时延分析(续2)¾利用P-K公式可得分组的平均等待时间λX2W=2(1−λX)¾分组在系统中的平均时延T=X+W例:假定p=10-3,n=8,则有X=1.008，X2=1.08λ(分组/单位时间)0.50.80.90.95W(单位分组时间)0.542.235.2411.29当λ接近系统容量时，W急剧上升。为保证系统的时延性能，应限制分组的到达率。12服务员有