中国科学技术大学通信与信息系统专业研究生学位课《现代通信系统》—相关理论与新技术第三章网络的时延模型（4）（3.6M/M/1排队模型的推广）CESLofDept.EEIS2006.23.6.1M/Er/1排队系统（非Markov型）9相邻到达时间间隔τn服从指数分布，其pdf为−λτa(τ)=λe(τ≥0)(3.6-1)9服务时间xn服从k阶Erlang分布，其pfd为kµ(kµx)k－1e−kµxb(x)=(k−1)!(x≥0)(3.6-2)11E[X]2我们有：E[X]=,D[X]=,k=。µkµ2D[X]9k个参数为kµ的相互独立且具有共同负指数分布的随机变量之和所服从的分布称k阶Erlang分布。2M/Er/1排队模型9可认为顾客在整个被服务过程中通过k个串联的分服务窗（参数为kµ），如图5.1-1所示。9每个分服务窗为顾客服务的时间是负指数分布（服务时间为1/kµ）。9将每个分服务窗看作一个相位，而顾客被服务完毕看作他走过了k个相位，在这一瞬间，下一个顾客才被允许进入服务窗前接受各个分服务窗的服务。3M/Er/1排队系统的稳态方程M/Er/1排队系统的状态转移如下图。可以根据状态转移图写出系统稳态方程λp0=kµp1(3.6.4)(λ+kµ)pj=λpj−k+kµpj+1（j=1,2,3,"）(3.6.5)4M/Er/1排队系统的性能分析(1)∞jP(z)=pzj对式(3.6.5)两边乘z再相加，以求母函数∑jj=0∞∞∞jjj∑(λ+kµ)pjz=λ∑∑pj-kz+kµpj+1zj=1jj=11=∞∞kµ∞(λ+kµ)[pzj−p]=λzkpzj-k+pzj+1∑j0∑j-k∑j+1j=0j=1zj=1kµ(λ+kµ)[P(z)−p]=λzkP(z)+[P(z)−p−pz]0z01解得1kµp0(1−)zkµp0(1−z)P(z)==k+1kkµkµ+λz−(λ+kµ)zλ+kµ−λz−(3.6-6)z5M/Er/1排队系统的性能分析(2)∞kµpP(1)=p=10=1因∑j,得，（罗必达法则）j=0kµ−λk9系统内无顾客的概率λλp0=1−=1−ρ（这里ρ=）(3.6-7)µµ9系统忙的概率∞P=1−p0=Pj∑（与M/M/1一致）j=1将式(3.6-7)代入式(3.6-6)可得kµ(1−ρ)(1−z)kµ(1−ρ)(1−z)P(z)==kµ+λzk+1−(λ+kµ)zkµλ−(z+z2+"+zk)(1−z)λ6M/Er/1排队系统的性能分析(3)当k=1时，M/Er/1即退化为M/M/1模型。kkµl当k>1时,上式中分母为λ(1−z)−∑z,而且方括号中多λl=1项式必有k个不同实根z1,z2,",zk,且zl>1,l=1,2,",kkµkkkz−zl=−(z−z)=(−1)k+1zz"z(1−)于是∑∏l12k∏λl=1l=1l=1zl如令z=0，则由上式得到kµ=(−1)k+1zz"zλ12k1−ρP(z)=从而有kz(3.6-8)∏(1−)l=1zl7M/Er/1排队系统的性能分析(4)将式(3.6-8)展开部分分式，得：kAP(z)=(1−ρ)l∑z(3.6-9)l=1(1−)zl其中,z1,z2,",zk为分母多项式的根，且kk1∞A=(A=1)j1l∏z∑l，利用∑x=，可得j=1ll=1j=01−xj≠l(1−)zjk∞z∞k∞P(z)=(1−ρ)A()j=(1−ρ)[Az−j]zj=pzj∑∑l∑∑ll∑jlj=10=zlj==01lj=0kp=(1−ρ)Az−j,j=0,1,2,"所以，j∑ll(3.6-10)l=18M/Er/1排队系统的性能分析(5)设一顾客到达时，系统中已有j个相位，且一个相位平均需要服务时间为1/kµ。于是，j个相位平均需j/kµ。故新到达的顾客平均等待服务的时间为：∞j1dP(z)W=∑pj=j=0kµkµdzz=1k+1k−[kµ+λz−(λ+kµ)z]−(1−z)[λ(k+1)z−(λ+kµ)]=k+12×(1−ρ)[kµ+λz−(λ+kµ)z]z=1两次利用罗必达法则，有(z−1)λk(k+1)zk−1(1−ρ)W=k+1k2[kµ+λz−(λ+kµ)z][λ(k+1)z−(λ+kµ)]z=1[λ