柯尔莫戈罗夫的公理化理论摘要:概率论是现代数学的主流分支之一,其数学基础是柯尔莫格罗夫所建立的概率论公理体系。概率论公理体系不仅使概率理论的形式结构清晰、逻辑推理严密,而且还使概率论本身及形式结构与之相近的其他数学理论都取得了实质性的进展。柯尔莫格罗夫1933年以德文出版了《概率论基础》,该书标志着概率论从半物理性质的科学转变成具有严密逻辑基础的数学分支。关键词：柯尔莫戈罗夫;概率论;随机变量;随机过程;随机事件虽至19世纪下半叶,概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了其古典形式,但一些基本概念尚未能明确化和严格化,诸如概率、收敛性、随机变量和数学期望等,都还停留在原始且直观水平上,几乎不存在严格定义。如何定义概率,如何把概率论建立在严密逻辑基础上,是概率理论的症结所在,这既阻碍了概率论的发展和应用,又落后于当时其他数学分支的公理化潮流,乃至20世纪初概率论仍徘徊于主流数学之外。正是在此数学文化背景下,前苏联数学家柯尔莫戈罗夫（）于1933年首次给出了一套严密的概率论公理体系,这不仅使概率理论的形式结构十分清晰、逻辑推理严密,而且还使得概率论本身及形式结构与之相近的其他数学理论都取得了实质性的进展。概率论发展史表明:柯尔莫戈罗夫的公理化体系对于概率论发展,犹如牛顿力学对于经典物理学的意义。因此,对柯尔莫戈罗夫概率公理化体系及其概率思想的研究,将为审视概率论的发展提供一种具有启发性的新视角。1．公理化概率论柯尔莫格罗夫所提出的概率论公理化体系,主要根植于集合论、测度论与实变函数论。他运用娴熟的实变函数理论,建立了集合测度与随机事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数的正交性与随机变量独立性的类比等,这种广泛的类比赋予概率论以演绎数学的特征,许多在直线上的积分定理都可移植到概率空间。部分对应关系如下:测度概率可测函数随机变量全直线概率空间点集事件集E→mEA→pAmi=1∞Ei=i=1∞m(Ei)P(i=1∞Ai)=i=1∞P(Ai)概率论与一般测度论相比较具有若干特征:概率值非负且不大于1(非负性),必然事件具有最大概率值1(规范性),而不可能事件的概率为0。从形式观点来看,全部概率理论可构成以“整个空间的测度为1”的特殊化测度论。柯尔莫格罗夫以5条公理为基础,构建出整个概率理论体系。其主要内容为：(1)概率基点是概率空间(Q,A,P),Q是基本事件ω所组成的集合,A是Q中集合的一ϭ代数,P是对所有可测事件A有定义的概率测度;(2)(Q,A,P)上的随机变元是现实世界观测函数的对应物。假设是概率空间上的随机过程,状态空间为过程的n个随机变元的集,其中一上的概率分布。且若1<m<n,在上的联合分布为在的n维分布所导出的m维分布;(3)给定任意指标集I,适度受限制的可测空间及对所有正整数n≥1,以I的有限子集为指标,给定上的一相容分布集,一定存在一概率空间及定义在其上以为状态空间的随机过程,具有所派定的联合随机变元分布;(4)可积数值随机变量的期望为其对给定概率测度的积分;(5)给定具有严格正概率的事件B,事件(可测集)A的条件概率是P(AB)/P(B)。由此,对固定B可得到新的概率,还可计算随机变量关于给定B的条件期望。更一般地,给定任意一族随机变元,关于这族随机变元给定值的条件概率与期望,必然是指派给这些条件随机变元的值函数。即ξ关于随机变元族的条件期望,定义为ξ关于该族随机变元所生成的子ϭ代数的条件期望。可测集A的条件概率则定义为在A上取值为1,其余取值为0的随机变量的条件期望。基本事件的集合是柯尔莫戈罗夫所定义的第一个基本概念。假设进行某随机试验,该试验在理论上可任意次重复,每次都有一定的随机结果,所有可能结果的总体形成集合(空间)Q,称之为基本事件集合。集合Q的任意子集,即可能结果组成的任意集合,称之为随机事件。考虑到对事件可做交并补等基本运算,产生了ϭ域这种集合系。因其复杂性定义概率很难在每个上面都具体定义出来,考虑到只定义其中的一部分形式较为简单集合的概率值,希望通过它们就足以确定其他集合的概率值,则产生了诸如环,半环,域等概念。对于域中的每个事件都有一个确定的非负实数与之对应,这个数就是该事件的概率。如此定义的概率不涉及频率或其他任何有具体背景的概念,所定义集合Q的元素及相应概率等都是抽象的。概率是定义在集合系(即集合组成的集合)上的函数,概率值是集合在映射下的象。由于希望刻画较复杂的随机变量关系,而把考虑的随机变量视为同一个概率空间到实数集的映射。2.柯尔莫戈罗夫公理化理论意义测度的定义较为广泛,不仅包括概率,还包括最常见的Lebesgue测度及计数测度。于是可测空间再添加一个分量就有了测度空间的定义。建立测度扩张的理论,就能解决部分集合的概率值决定所有