板友间，心无间……津津乐道！第页几何画板迭代全解佛ft市南海区石门中学谢辅炬（唐家军修订）主要内容迭代的基本概念以及迭代的基本操作迭代的概念迭代在代数、几何中的应用绘制正多边形数列的图像、前n项和与积迭代与分形几何Sierpinski三角形Sierpinski地毯摇曳的PythagoreanTree(毕达哥拉斯树)分形树KOCH柯赫曲线KOCHSnowflake柯赫雪花数学之美H迭代蜂巢其它分形欣赏函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集迭代法求方程解MIRA米拉Henon-Attractor挨农吸引子MandelbrotSetsM集合JuliaSets朱丽亚集合牛顿迭代法第一章迭代的概念和操作迭代是数学中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作以下定义：n!=n×(n-1)!、(n-1)!=(n-1)(n-2)!。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。为了更好地理解几何画板中迭代的应用，先了解下面这几个迭代最基本的概念。迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。初象：原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。与原象是相对概念。更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我们知道An=An-1+2，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以“1”作为原像，“3”作为初像，迭代一次后得到“5”，再迭代一次得到“7”，如此下去得到以下数值序列7、9、11、13、15......如图1.1所示。图1.1图1.2在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D、E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数，迭代的终点就是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆内接正n边形这个例子来看一下它们的区别。例1.1画圆的内接正七边形。分析：由正七边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转“360°/7”，抓住这个规律，我们可以用迭代功能来解决。步骤：1.新建圆O，在圆O上任取一点A。2.双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单“变换”-“旋转”，旋转参数选为选择固定角度，然后在框中输入“360°/7”（单位必须标记出来），得到B点。连接线段AB。第2步第3步3.选择A点，单击“变换”-“迭代”，点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正七边形的4条边（因为系统默认普通迭代的迭代次数是3次）。4.单击迭代框的“显示”按钮，选择“增加迭代”。（或者按键盘的‘＋’或‘－’）。增加三次迭代后，我们可以看到一个完整的正七边形。此时的迭代次数为6次，正七边形制作完成。第4步第5步5.单击迭代框的“显示”按钮，选“最终迭代”，得到的图像仅是最后一条边。6.点击迭代框“结构”按钮，我们可以设置创建的对象，选择“仅没有点的对象”则迭代的像只有正多边形的各条边，而没有顶点，反之则有顶点。选择迭代像，我们可以修改他们的属性，比如颜色和粗细等，但是细心的你会发现，线段的迭代像是不能够度量其长度的，当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标，但是我们可以得到迭代的终点，方法是选择迭代的像点，然后单击“变换”-“终点”，可以发现最后的那个点变成实点了，此点可以被度量，此功能在函数映射里面会用到。上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦，而且迭代规则限定了，即每次都是旋转同样的角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢？可以的，这就是深度迭代。例1.2画圆的任意内接正n边形步骤:1.新建圆O并在圆上任取一点A。双击圆心O作为旋转中心。2.新建参数n＝7，计算“360°/n”,注意这时要带单位“度”。3.选择A点，单击菜单“变换”-“旋转”，出现旋转对话框，单击计算结果“360°/n”作为标记角度，得到B点。连接线段AB。第3步第4步4.顺次选择点A和参数n，按住“shift”键不放，单击“变换”-“深度迭代I