浅议正多面体我们知道正多面体有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。那么为什么只有五种呢？下面我用高中现有的知识给出解释。正多面体定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体。由定义不难得到如下结论：一、正多面体的面（正多边形）只有三种：正三角形、正方形、正五边形。从多面体一顶点起的棱至少是三条，要成为凸多面体正多面体的每个面（正多边形）的内角小于120°，正多边形中内角小于120°的只有正三角形、正方形、正五边形。1、当正多面体的面为正三角形时，从正多面体一顶点起的棱数可为3、4、5。因为正三角形的内角为60°，３×60°=180°、4×60°=240°和5×60°=300°都小于360°，而若棱数Ｅ大于5时、Ｅ×60°≥360°。2、当正多面体的面为正方形、正五边形时，从正多面体一顶点起的棱数只可为3。因为正方形的内角为90°，正五边形的内角为108°，３×90°=270°、３×108°=324°，而若棱数Ｅ大于4时、Ｅ×90°≥360°Ｅ×108°≥360°。结论：正多面体的面（正多边形）只有三种：正三角形、正方形、正五边形。二、正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。由上面结论可知依照正多面体的面以及从一顶点起的棱数的情况，可将正多面体分为五类。①、正多面体的面为正三角形且从正多面体一顶点起的棱数为3；②、正多面体的面为正三角形且从正多面体一顶点起的棱数为４；③、正多面体的面为正三角形且从正多面体一サ闫鸬睦馐担?④、正多面体的面为正方形且从正多面体一顶点起的棱数为３；⑤、正多面体的面为正五边形且从正多面体一顶点起的棱数为３。下面我们以①（正多面体的面为正三角形且从正多面体一顶点起的棱数为3）为例，证明这类正多面体只有一种且面数为４。这类正多面体顶点数Ｖ、棱数Ｅ、及面数Ｆ之间的关系。顶点数Ｖ与棱数Ｅ的关系；若将这类正多面体所有的棱拆开，所有的棱共有２E个点，再由从正多面体一顶点起的棱数为3（三棱交于一点———即三点合一点）易，得顶点数Ｖ与棱数Ｅ的关系式为V=棱数Ｅ与面数Ｆ的关系；若将这类正多面体所有的面拆开且由正多面体的面为正三角形，所有的面共有3F个棱，再由正多面体面面相交（两棱合一棱），易得棱数Ｅ与面数Ｆ的关系式为E=3F。22E。3顶点数Ｖ与面数Ｆ的关系；若将这类正多面体所有的面拆开且由正多面体的面为正三角形，所有的面共有3Ｆ个顶点，再由正多面体面面相交（三面交于一点———即三点合一点），易得顶点数Ｖ与面数Ｆ的关系式为V=结论：由多面体欧拉定理：简单多面体的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、及面数Ｆ间有关系V+F－E=F+F－E3F=F。3V+F－E=2其关系是叫欧拉公式。再由前面的关系式E=3F3FF与V=F可得V+F－E=F+F－==2，222易得F=4。并且我们将这类面数为４正多面体定义为正四面体。同理证明其它四类正多面体的结论。②、正多面体的面为正三角形且从正多面体一顶点起的棱数为４，这类正多面体只有一种且面数为８定义为正八面体；③、正多面体的面为正三角形且从正多面体一顶点起的棱数为５，这类正多面体只有一种且面数为20定义为正二十面体；④、正多面体的面叫吻掖诱嗝嫣逡欢サ闫鸬睦馐常?类正多面体只有一种且面数为6定义为正六面体；⑤、正多面体的面为正五边形且从正多面体一顶点起的棱数为３，这类正多面体只有一种且面数为12定义为正十二面体。三、正多面体中顶点数Ｖ、棱数Ｅ、及面数Ｆ之间的关系。正多面体正四面体正六面体正八面体正十二面体顶点数Ｖ与棱数Ｅ2E32EEV==422EV=32EV=3V=棱数Ｅ与面数Ｆ3F23FE=24FE==2F25FE=2E=顶点数Ｖ与面数Ｆ3F=F33FV=44FV=35FV=3V=正二十面体V=2E5E=3F2V=3F5上述结论及其证明过程不只是在立体几何里有重要用途，而且化学的晶体构造这一部分有重要用途。