数学谬论与诡辩赏析--几何篇一、梯形的上底等于下底如图,任意梯形的上底为a,下底为b,中位线为c下面来证明a=b证明方法如下:因为c是梯形的中位线所以a+b=2c等式两边都乘以(a-b),得(a+b)·(a-b)=2c·(a-b)展开得a2-b2=2ac-2bc移项得a2-2ac=b2-2bc等式两边都加c2,得a2-2ac+c2=b2-2bc+c2即(a-c)2=(b-c)2两边都开方,得a-c=b-c等式两边都加c,得a=b这就是说,任何梯形的上底都等于下底。结论当然是荒谬的,要是这样的话,梯形和平形四边形岂不是没有区别了么但是,证明过程中什么地方错了呢解析:错在等式(a-c)2=(b-c)2两边都开方得a-c=b-c这个环节上。因为由(a-c)2=(b-c)2,只能得到|a-c|=|b-c|。在这里a-c75,即三角形内切圆面积大于三角形面积。解析:部分居然大于整体!这究竟是怎么一回事呢原来三角形的面积与周长之间有着内在的相关性:由秦九韶--海伦公式和平均值不等式,得S=s(s-a)(s-b)(s-c)≤s(s-a)+(s-b)+(s-c)33=s3s-2s33=39s2=336p2(这里s=12(a+b+c)=12p,s为三角形的半周长,p为三角形的周长)即三角形面积S和周长p之间必须满足不等式:S≤336p2(当且仅当a=b=c时取等号).而上述三角形面积(75)和周长(30)之间并??满足这个不等式,换句话说,这个三角形根本不存在!四、任何三角形都是等腰三角形我们知道,三角形按边分类,可分为等腰三角形和不等边三角形。现在,有人却要证明:任意三角形都是等腰三角形。如图,△ABC是任意三角形,当AB=AC时,显然△ABC是等腰三角形。下面证明当AB≠AC时,△ABC也是等腰三角形!不妨设AB>AC,作边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线,交点为P,过点P作PF⊥AB、PG⊥AC,垂足分别为F、G,连接PB、PC。容易证明①△APF≌△APG(角角边),所以有AF=AG,PF=PG;②△BPF≌△CPG(由①得PF=PG,又DE垂直平分BC,所以PB=PC,再根据"斜边直角边"得证),所以有BF=CG.因为AB=AF+FB,AC=AG+GC,所以AB=AC.综上所述,任意三角形都是等腰三角形。假如这个结论是对的,那么就不存在按边分类了!但??,这个证明究竟错在什么地方呢解析:这道题的错误在于把图画错了!如果严格的按要求画图,PG与边AC的垂足不会在边AC上,而在边AC的延长线上,这时,我们可以证明AB-BC=2BF(或2CG),只有当BF=CG=0时,才有AB=BC。所以"任意三角形都是等腰三角形"这个结论不能成立。至于有人在证明时,故意把边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线的交点P画在△ABC内部(见下图),那就更加大错特错了。事实上,设∠BAC的平分线与边BC相交于点K,根据三角形内角平分线定理得:AB/AC=BK/KC。如果AB>AC,那么BK>KC,也就是说K点在边BC中点的右边,所以边BC的垂直平分线DE和∠BAC的角平分线的交点P不可能在△ABC的内部!而这一点在"证明"中起着关键的作用。看了上面的"证明",我们不免会有这样的疑问:如果一个几何题的证???的正确性取决于画图的准确性,那么我们又如何能保证画图的准确性呢尤其严重的是,任何一个图形,即便你把它画得足够"一般",它事实上都只能代表这个图形所表示的具体情况。当一个几何证明依赖于这个具体的图形时,如何使人相信这个证明其实是对所有的情况作出的呢尤其是当几何图形相当复杂时,这种疑问会变得很强烈:这个具体图形是否能代表一般的情况对更一般的数学证明来说,我们也会有这样的担心:我们在证明一个命题的时候,是否会在证明里运用了太多的直觉,以至于不小心引入了事实上不存在的前提五、钝角等于直角我们知道,一个小于平角的角可以分为三类:锐角,直角和钝角。直角小于钝角,但是下面却有一个关于钝角等于直角的证明,有兴趣的读者请往下看。如图,在矩形ABCD外作BE=BC,且使0°0,所以PE与x轴的交点M在线段AB的延长线上。